Matrices A matrix A is given by A = (x 0 / 5 9). a) Determine A2. b) If A2 = (1 0 / 0 1), determine the possible pairs of values of x & y.

Ili kupata vipengele vya $A^2$, tunazidisha safu mlalo za matrisi ya kwanza na safu wima za matrisi ya pili:

Sehemu (b): Ikiwa $mA^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, pata jozi zinazowezekana za thamani za $x$ na $y$.

Zidisha scalar $m$ kwa kila kipengele cha matrisi $A^2$:

Kutoka kwa kulinganisha, tunapata milinganyo ifuatayo:

1. $mx^2 = 1$
2. $m(5x+5y) = 0$
3. $my^2 = 1$

Kutoka mlinganyo (1), $mx^2 = 1$, ambayo inamaanisha $m \neq 0$ na $x \neq 0$.
Kutoka mlinganyo (3), $my^2 = 1$, ambayo inamaanisha $y \neq 0$.
Kwa kuwa $mx^2 = 1$ na $my^2 = 1$, tunaweza kusema $mx^2 = my^2$. Kwa kugawanya kwa $m$ (ambayo si sifuri), tunapata $x^2 = y^2$.
Hii inamaanisha $y = x$ au $y = -x$.

Sasa, tumia mlinganyo (2): $m(5x+5y) = 0$.
Kwa kuwa $m \neq 0$, lazima $5x+5y = 0$.
Gawanya pande zote mbili kwa 5: $x+y = 0$.
Hii inamaanisha $y = -x$.

Uhusiano $y = -x$ unakidhi masharti yote. Pia, kwa kuwa $x \neq 0$ (kutoka $mx^2=1$), basi $y \neq 0$.
Kwa hivyo, jozi zinazowezekana za thamani za $x$ na $y$ ni zile ambapo $y$ ni hasi ya $x$, na $x$ si sifuri.
Jozi zinazowezekana za $x$ na $y$ ni $\boxed{\mathbf{(x, -x) \text{ ambapo } x \neq 0}}$.