यदि A = [ 1 2 4 ], हो, तो दिखाइए |3A| = 27|A| और सारणिकों के मान ज्ञात कीजिए: (ii) | 3 -4 5 | , (iii) | 0 |- (ii) | 1 1 -2 | , (iii) |-1 | | 2 3 1 | |-2

एक $n \times n$ आव्यूह $A$ और एक अदिश (scalar) $k$ के लिए, सारणिक का एक गुणधर्म है: $|kA| = k^n |A|$।

दिए गए संबंध $|3A| = 27|A|$ में, $k=3$ है। चूंकि $27 = 3^3$, इसका मतलब है कि $n=3$ है।
इसलिए, यह गुणधर्म एक $3 \times 3$ आव्यूह के लिए लागू होता है।

यदि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है, तो सारणिक के गुणधर्म के अनुसार:

यह दर्शाता है कि दिया गया संबंध सत्य है, बशर्ते $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह हो।

भाग (ii): सारणिक का मान ज्ञात कीजिए

दिए गए सारणिक का मान ज्ञात करना है:

सारणिक का मान है: $\boxed{46}$

भाग (iii): सारणिक का मान ज्ञात कीजिए

दिए गए सारणिक का मान ज्ञात करना है:

सारणिक केवल वर्ग आव्यूहों (square matrices) के लिए परिभाषित होता है, अर्थात ऐसे आव्यूह जिनमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है।

दिया गया आव्यूह $\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}$ एक $3 \times 1$ आव्यूह है (3 पंक्तियाँ और 1 स्तंभ)। यह एक वर्ग आव्यूह नहीं है।

चूंकि यह एक वर्ग आव्यूह नहीं है, इसका सारणिक परिभाषित नहीं है।
सारणिक का मान: $\boxed{\text{परिभाषित नहीं}}$