প্রমাণ কর যে: ( A)/(1 − A) + ( A)/(1 − A) = A * cosec A + 1

Question

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

এখানে ৮ এর ক নাম্বার সমস্যার সমাধান দেওয়া হলো:
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে $\frac{\tan A}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \tan A} = \sec A \cdot \operatorname{cosec} A + 1$ ।

বাম পক্ষ (LHS) থেকে শুরু করি।
$\text{LHS} = \frac{\tan A}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \tan A}$
$\tan A$ এবং $\cot A$ কে $\sin A$ এবং $\cos A$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।
আমরা জানি, $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ এবং $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ ।
$\text{LHS} = \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{1 - \frac{\cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{1 - \frac{\sin A}{\cos A}}$
হরগুলোকে সরল করি।
$1 - \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\sin A - \cos A}{\sin A}$ $1 - \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\cos A - \sin A}{\cos A}$
এখন LHS এ প্রতিস্থাপন করি:
$\text{LHS} = \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{\frac{\sin A - \cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{\frac{\cos A - \sin A}{\cos A}}$
জটিল ভগ্নাংশগুলোকে সরল করি।
$\text{LHS} = \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{\sin A}{\sin A - \cos A} + \frac{\cos A}{\sin A} \cdot \frac{\cos A}{\cos A - \sin A}$ $\text{LHS} = \frac{\sin^2 A}{\cos A (\sin A - \cos A)} + \frac{\cos^2 A}{\sin A (\cos A - \sin A)}$
লক্ষ্য করি যে $(\cos A - \sin A) = -(\sin A - \cos A)$ । এই সম্পর্কটি ব্যবহার করে দ্বিতীয় পদের হরকে পরিবর্তন করি।
$\text{LHS} = \frac{\sin^2 A}{\cos A (\sin A - \cos A)} + \frac{\cos^2 A}{\sin A (-(\sin A - \cos A))}$ $\text{LHS} = \frac{\sin^2 A}{\cos A (\sin A - \cos A)} - \frac{\cos^2 A}{\sin A (\sin A - \cos A)}$
সাধারণ হর $\sin A \cos A (\sin A - \cos A)$ ব্যবহার করে ভগ্নাংশ দুটিকে একত্রিত করি।
$\text{LHS} = \frac{\sin A \cdot \sin^2 A - \cos A \cdot \cos^2 A}{\sin A \cos A (\sin A - \cos A)}$ $\text{LHS} = \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A \cos A (\sin A - \cos A)}$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ সূত্রটি ব্যবহার করি, যেখানে $a = \sin A$ এবং $b = \cos A$ ।
$\text{LHS} = \frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A \cos A (\sin A - \cos A)}$
লব ও হর থেকে সাধারণ পদ $(\sin A - \cos A)$ বাতিল করি।
$\text{LHS} = \frac{\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A}{\sin A \cos A}$
ত্রিকোণমিতিক অভেদ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ ব্যবহার করি।
$\text{LHS} = \frac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A}$
ভগ্নাংশটিকে দুটি পদে বিভক্ত করি।
$\text{LHS} = \frac{1}{\sin A \cos A} + \frac{\sin A \cos A}{\sin A \cos A}$ $\text{LHS} = \frac{1}{\sin A \cos A} + 1$
$\frac{1}{\sin A \cos A}$ কে $\sec A$ এবং $\operatorname{cosec} A$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।
আমরা জানি, $\frac{1}{\sin A} = \operatorname{cosec} A$ এবং $\frac{1}{\cos A} = \sec A$ ।
সুতরাং, $\frac{1}{\sin A \cos A} = \operatorname{cosec} A \cdot \sec A$ ।
$\text{LHS} = \sec A \cdot \operatorname{cosec} A + 1$
এটি ডান পক্ষের (RHS) সমান।

সুতরাং, অভেদটি প্রমাণিত হলো:
$\boxed{\frac{\tan A}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \tan A} = \sec A \cdot \operatorname{cosec} A + 1}$

প্রমাণ কর যে: ( A)/(1 - A) + ( A)/(1 − A) = A * cosec A + 1

Step-by-step solution

বাম পক্ষ (LHS) থেকে শুরু করি।

$\tan A$ এবং $\cot A$ কে $\sin A$ এবং $\cos A$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।

হরগুলোকে সরল করি।

জটিল ভগ্নাংশগুলোকে সরল করি।

লক্ষ্য করি যে $(\cos A - \sin A) = -(\sin A - \cos A)$ । এই সম্পর্কটি ব্যবহার করে দ্বিতীয় পদের হরকে পরিবর্তন করি।

সাধারণ হর $\sin A \cos A (\sin A - \cos A)$ ব্যবহার করে ভগ্নাংশ দুটিকে একত্রিত করি।

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ সূত্রটি ব্যবহার করি, যেখানে $a = \sin A$ এবং $b = \cos A$ ।

লব ও হর থেকে সাধারণ পদ $(\sin A - \cos A)$ বাতিল করি।

ত্রিকোণমিতিক অভেদ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ ব্যবহার করি।

ভগ্নাংশটিকে দুটি পদে বিভক্ত করি।

$\frac{1}{\sin A \cos A}$ কে $\sec A$ এবং $\operatorname{cosec} A$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।

Still stuck on this one?

More Mathematics Questions