প্রমাণ কর যে: ( A)/(1 - A) + ( A)/(1 - A) = A * cosec A + 1

এখানে ৮ এর ক নাম্বার সমস্যার সমাধান দেওয়া হলো: আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে ( A)/(1 - A) + ( A)/(1 - A) = A · cosec A + 1। Step 1: বাম পক্ষ (LHS) থেকে শুরু করি। LHS = ( A)/(1 - A) + ( A)/(1 - A) Step 2: A এবং A কে A এবং A এর মাধ্যমে প্রকাশ করি। আমরা জানি, A = ( A)/( A) এবং A = ( A)/( A)। LHS = ( A)/( A)1 - ( A)/( A) + ( A)/( A)1 - ( A)/( A) Step 3: হরগুলোকে সরল করি। 1 - ( A)/( A) = ( A - A)/( A) 1 - ( A)/( A) = ( A - A)/( A) এখন LHS এ প্রতিস্থাপন করি: LHS = ( A)/( A)( A - A)/( A) + ( A)/( A)( A - A)/( A) Step 4: জটিল ভগ্নাংশগুলোকে সরল করি। LHS = ( A)/( A) · ( A)/( A - A) + ( A)/( A) · ( A)/( A - A) LHS = (^2 A)/( A ( A - A)) + (^2 A)/( A ( A - A)) Step 5: লক্ষ্য করি যে ( A - A) = -( A - A)। এই সম্পর্কটি ব্যবহার করে দ্বিতীয় পদের হরকে পরিবর্তন করি। LHS = (^2 A)/( A ( A - A)) + (^2 A)/( A (-( A - A))) LHS = (^2 A)/( A ( A - A)) - (^2 A)/( A ( A - A)) Step 6: সাধারণ হর A A ( A - A) ব্যবহার করে ভগ্নাংশ দুটিকে একত্রিত করি। LHS = ( A · ^2 A - A · ^2 A)/( A A ( A - A)) LHS = (^3 A - ^3 A)/( A A ( A - A)) Step 7: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) সূত্রটি ব্যবহার করি, যেখানে a = A এবং b = A। LHS = (( A - A)(^2 A + A A + ^2 A))/( A A ( A - A)) Step 8: লব ও হর থেকে সাধারণ পদ ( A - A) বাতিল করি। LHS = (^2 A + A A + ^2 A)/( A A) Step 9: ত্রিকোণমিতিক অভেদ ^2 A + ^2 A = 1 ব্যবহার করি। LHS = (1 + A A)/( A A) Step 10: ভগ্নাংশটিকে দুটি পদে বিভক্ত করি। LHS = (1)/( A A) + ( A A)/( A A) LHS = (1)/( A A) + 1 Step 11: (1)/( A A) কে A এবং cosec A এর মাধ্যমে প্রকাশ করি। আমরা জানি, (1)/( A) = cosec A এবং (1)/( A) = A। সুতরাং, (1)/( A A) = cosec A · A। LHS = A · cosec A + 1 এটি ডান পক্ষের (RHS) সমান। সুতরাং, অভেদটি প্রমাণিত হলো: ( A)/(1 - A) + ( A)/(1 - A) = A · cosec A + 1 That's 2 down. 3 left today — send the next one.