This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
بالتأكيد، لنحل التمرين الأول (EX1). EX1: لدينا النقاط A(4, -5), B(1, 4), C(9, -6) والمستقيم (D) معرف بالمعادلات البارامترية: x = 9 - 8t \\ y = -6 + 10t 1) a) التحقق من أن B (D) و C (D) للنقطة B(1, 4): نعوض إحداثيات B في معادلات (D): 1 = 9 - 8t 8t = 9 - 1 8t = 8 t = 1 4 = -6 + 10t 10t = 4 + 6 10t = 10 t = 1 بما أننا حصلنا على نفس القيمة لـ t في كلتا المعادلتين (t=1)، فإن النقطة B تنتمي إلى المستقيم (D). للنقطة C(9, -6): نعوض إحداثيات C في معادلات (D): 9 = 9 - 8t 8t = 9 - 9 8t = 0 t = 0 -6 = -6 + 10t 10t = -6 + 6 10t = 0 t = 0 بما أننا حصلنا على نفس القيمة لـ t في كلتا المعادلتين (t=0)، فإن النقطة C تنتمي إلى المستقيم (D). 1) b) إثبات أن (D): 5x + 4y - 21 = 0 من المعادلات البارامترية للمستقيم (D): x = 9 - 8t 8t = 9 - x y = -6 + 10t 10t = y + 6 لإزالة البارامتر t، نضرب المعادلة الأولى في 10 والمعادلة الثانية في 8: 80t = 10(9 - x) 80t = 90 - 10x 80t = 8(y + 6) 80t = 8y + 48 بمساواة تعبيري 80t: 90 - 10x = 8y + 48 ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد: 10x + 8y + 48 - 90 = 0 10x + 8y - 42 = 0 نقسم المعادلة بأكملها على 2: 5x + 4y - 21 = 0 وهي المعادلة المطلوبة للمستقيم (D). 2) ليكن () المستقيم المار بالنقطة A وله المتجه OB كمتجه توجيه. إثبات أن (): 4x - y - 21 = 0 أولاً، نحدد المتجه OB. النقطة O هي نقطة الأصل (0,0) والنقطة B هي (1,4). OB = (1 - 0, 4 - 0) = (1, 4) المستقيم () يمر بالنقطة A(4, -5) وله المتجه OB = (1, 4) كمتجه توجيه. إذا كانت M(x, y) نقطة على المستقيم ()، فإن المتجه AM يكون متوازياً مع المتجه OB. AM = (x - 4, y - (-5)) = (x - 4, y + 5) بما أن المتجهين متوازيان، فإن إحداثياتهما متناسبة: (x - 4)/(1) = (y + 5)/(4) نضرب الطرفين في الوسطين: 4(x - 4) = 1(y + 5) 4x - 16 = y + 5 ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد: 4x - y - 16 - 5 = 0 4x - y - 21 = 0 وهي المعادلة المطلوبة للمستقيم (). 3) تحديد تقاطع (D) () لإيجاد نقطة التقاطع، نحل نظام المعادلتين للمستقيمين (D) و (): 1) 5x + 4y - 21 = 0 2) 4x - y - 21 = 0 من المعادلة (2)، يمكننا التعبير عن y: y = 4x - 21 نعوض هذا التعبير عن y في المعادلة (1): 5x + 4(4x - 21) - 21 = 0 5x + 16x - 84 - 21 = 0 21x - 105 = 0 21x = 105 x = (105)/(21) x = 5 الآن نعوض قيمة x=5 في تعبير y = 4x - 21: y = 4(5) - 21 y = 20 - 21 y = -1 إذن، نقطة التقاطع هي (5, -1). (D) () = (5, -1) That's 2 down. 3 left today — send the next one.