لدينا النقاط A(4, -5), B(1, 4), C(9, -6) والمستقيم (D) معرف بالمعادلات البارامترية: x = 9 − 8t, y = -6 + 10t. أثبت أن B otin (D) و C otin (D).

بالتأكيد، لنحل التمرين الأول (EX1).

EX1:
لدينا النقاط $A(4, -5)$, $B(1, 4)$, $C(9, -6)$ والمستقيم $(D)$ معرف بالمعادلات البارامترية:

$$\begin{cases} x = 9 - 8t \\ y = -6 + 10t \end{cases}$$

1) a) التحقق من أن $B \in (D)$ و $C \in (D)$

• للنقطة $B(1, 4)$: نعوض إحداثيات $B$ في معادلات $(D)$:

  $$1 = 9 - 8t \implies 8t = 9 - 1 \implies 8t = 8 \implies t = 1$$ $$4 = -6 + 10t \implies 10t = 4 + 6 \implies 10t = 10 \implies t = 1$$

  بما أننا حصلنا على نفس القيمة لـ $t$ في كلتا المعادلتين ($t=1$)، فإن النقطة $B$ تنتمي إلى المستقيم $(D)$.

• للنقطة $C(9, -6)$: نعوض إحداثيات $C$ في معادلات $(D)$:

  $$9 = 9 - 8t \implies 8t = 9 - 9 \implies 8t = 0 \implies t = 0$$ $$-6 = -6 + 10t \implies 10t = -6 + 6 \implies 10t = 0 \implies t = 0$$

  بما أننا حصلنا على نفس القيمة لـ $t$ في كلتا المعادلتين ($t=0$)، فإن النقطة $C$ تنتمي إلى المستقيم $(D)$.

1) b) إثبات أن $(D): 5x + 4y - 21 = 0$

من المعادلات البارامترية للمستقيم $(D)$:

$$x = 9 - 8t \implies 8t = 9 - x$$ $$y = -6 + 10t \implies 10t = y + 6$$

لإزالة البارامتر $t$، نضرب المعادلة الأولى في 10 والمعادلة الثانية في 8:

$$80t = 10(9 - x) \implies 80t = 90 - 10x$$ $$80t = 8(y + 6) \implies 80t = 8y + 48$$

بمساواة تعبيري $80t$:

$$90 - 10x = 8y + 48$$

ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد:

$$10x + 8y + 48 - 90 = 0$$ $$10x + 8y - 42 = 0$$

نقسم المعادلة بأكملها على 2:

$$\boxed{5x + 4y - 21 = 0}$$

وهي المعادلة المطلوبة للمستقيم $(D)$.

2) ليكن $(\Delta)$ المستقيم المار بالنقطة $A$ وله المتجه $\vec{OB}$ كمتجه توجيه. إثبات أن $(\Delta): 4x - y - 21 = 0$

أولاً، نحدد المتجه $\vec{OB}$. النقطة $O$ هي نقطة الأصل $(0,0)$ والنقطة $B$ هي $(1,4)$.

$$\vec{OB} = (1 - 0, 4 - 0) = (1, 4)$$

المستقيم $(\Delta)$ يمر بالنقطة $A(4, -5)$ وله المتجه $\vec{OB} = (1, 4)$ كمتجه توجيه.
إذا كانت $M(x, y)$ نقطة على المستقيم $(\Delta)$، فإن المتجه $\vec{AM}$ يكون متوازياً مع المتجه $\vec{OB}$.

$$\vec{AM} = (x - 4, y - (-5)) = (x - 4, y + 5)$$

بما أن المتجهين متوازيان، فإن إحداثياتهما متناسبة:

$$\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 5}{4}$$

نضرب الطرفين في الوسطين:

$$4(x - 4) = 1(y + 5)$$ $$4x - 16 = y + 5$$

ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد:

$$4x - y - 16 - 5 = 0$$ $$\boxed{4x - y - 21 = 0}$$

وهي المعادلة المطلوبة للمستقيم $(\Delta)$.

3) تحديد تقاطع $(D) \cap (\Delta)$

لإيجاد نقطة التقاطع، نحل نظام المعادلتين للمستقيمين $(D)$ و $(\Delta)$:

1. $5x + 4y - 21 = 0$
2. $4x - y - 21 = 0$

من المعادلة (2)، يمكننا التعبير عن $y$:

$$y = 4x - 21$$

نعوض هذا التعبير عن $y$ في المعادلة (1):

$$5x + 4(4x - 21) - 21 = 0$$ $$5x + 16x - 84 - 21 = 0$$ $$21x - 105 = 0$$ $$21x = 105$$ $$x = \frac{105}{21}$$ $$x = 5$$

الآن نعوض قيمة $x=5$ في تعبير $y = 4x - 21$:

$$y = 4(5) - 21$$ $$y = 20 - 21$$ $$y = -1$$

إذن، نقطة التقاطع هي $(5, -1)$.

$$\boxed{(D) \cap (\Delta) = (5, -1)}$$