सिद्ध कीजिए कि (a,b) R (c,d) => ad=bc, N×N पर परिभाषित संबंध R तुल्यता संबंध है।

एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि प्रत्येक $(a,b) \in N \times N$ के लिए, $(a,b) R (a,b)$ हो।
हमें यह जांचना है कि क्या $a \cdot b = b \cdot a$ सत्य है।
प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल के क्रमविनिमेय गुण के कारण, $ab = ba$ हमेशा सत्य होता है।
अतः, संबंध $R$ स्वतुल्य है।

एक संबंध $R$ सममित होता है यदि प्रत्येक $(a,b), (c,d) \in N \times N$ के लिए, यदि $(a,b) R (c,d)$ है, तो $(c,d) R (a,b)$ भी हो।
मान लीजिए $(a,b) R (c,d)$ है।
परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है $ad = bc$.
हमें यह दिखाना है कि $(c,d) R (a,b)$ है, जिसका अर्थ है $c \cdot b = d \cdot a$.
चूंकि $ad = bc$ दिया गया है, और गुणनफल क्रमविनिमेय होता है, हम इसे $bc = ad$ भी लिख सकते हैं।
हम जानते हैं कि $cb = bc$ और $da = ad$.
इसलिए, $cb = da$ सत्य है।
अतः, संबंध $R$ सममित है।

एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि प्रत्येक $(a,b), (c,d), (e,f) \in N \times N$ के लिए, यदि $(a,b) R (c,d)$ और $(c,d) R (e,f)$ है, तो $(a,b) R (e,f)$ भी हो।
मान लीजिए:

1. $(a,b) R (c,d) \implies ad = bc$
2. $(c,d) R (e,f) \implies cf = de$

हमें यह दिखाना है कि $(a,b) R (e,f)$, जिसका अर्थ है $af = be$.

समीकरण (1) से, हम लिख सकते हैं $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (क्योंकि $b, d \in N$, इसलिए $b \neq 0, d \neq 0$).
समीकरण (2) से, हम लिख सकते हैं $\frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ (क्योंकि $d, f \in N$, इसलिए $d \neq 0, f \neq 0$).

इन दोनों को मिलाने पर, हमें मिलता है:

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $\frac{a}{b} = \frac{e}{f}$.
वज्रगुणन (cross-multiplication) करने पर हमें मिलता है $af = be$.
यह वही है जो हमें संक्रामकता सिद्ध करने के लिए दिखाना था।
अतः, संबंध $R$ संक्रामक है।

चूंकि संबंध $R$ स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

$\boxed{\text{सिद्ध हुआ कि संबंध } R \text{ एक तुल्यता संबंध है।}}$