This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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यहाँ प्रश्नावली 1.2 के प्रश्न 1 का हल है: प्रश्न 1: सिद्ध कीजिए कि sqrt(5) एक अपरिमेय संख्या है। Step 1: विरोधाभास द्वारा कल्पना करें मान लीजिए sqrt(5) एक परिमेय संख्या है। यदि sqrt(5) एक परिमेय संख्या है, तो इसे (a)/(b) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और b ≠ 0 है। sqrt(5) = (a)/(b) Step 2: समीकरण को वर्ग करें दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (sqrt(5))^2 = ((a)/(b))^2 5 = (a^2)/(b^2) 5b^2 = a^2 (1) Step 3: निष्कर्ष निकालें कि a 5 से विभाज्य है समीकरण (1) से, यह स्पष्ट है कि a^2, 5 से विभाज्य है। अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार, यदि a^2, 5 से विभाज्य है, तो a भी 5 से विभाज्य होगा। इसलिए, हम a = 5c लिख सकते हैं, जहाँ c कोई पूर्णांक है। Step 4: a का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करें a = 5c को समीकरण (1) में रखने पर: 5b^2 = (5c)^2 5b^2 = 25c^2 दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर: b^2 = 5c^2 Step 5: निष्कर्ष निकालें कि b भी 5 से विभाज्य है समीकरण b^2 = 5c^2 से, यह स्पष्ट है कि b^2, 5 से विभाज्य है। अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार, यदि b^2, 5 से विभाज्य है, तो b भी 5 से विभाज्य होगा। Step 6: विरोधाभास को पहचानें हमने पाया कि a और b दोनों 5 से विभाज्य हैं। यह हमारी प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है कि a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं (अर्थात, उनका 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है)। Step 7: निष्कर्ष चूंकि हमारी धारणा गलत साबित हुई है, इसलिए sqrt(5) एक परिमेय संख्या नहीं हो सकती। अतः, sqrt(5) एक अपरिमेय संख्या है। सिद्ध हुआ कि sqrt(5) एक अपरिमेय संख्या है। That's 2 down. 3 left today — send the next one.