सिद्ध कीजिए कि sqrt(5) एक अपरिमेय संख्या है।

मान लीजिए $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
यदि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है, तो इसे $\frac{a}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और $b \neq 0$ है।

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

समीकरण (1) से, यह स्पष्ट है कि $a^2$, 5 से विभाज्य है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार, यदि $a^2$, 5 से विभाज्य है, तो $a$ भी 5 से विभाज्य होगा।
इसलिए, हम $a = 5c$ लिख सकते हैं, जहाँ $c$ कोई पूर्णांक है।

$a = 5c$ को समीकरण (1) में रखने पर:

दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर:

समीकरण $b^2 = 5c^2$ से, यह स्पष्ट है कि $b^2$, 5 से विभाज्य है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार, यदि $b^2$, 5 से विभाज्य है, तो $b$ भी 5 से विभाज्य होगा।

हमने पाया कि $a$ और $b$ दोनों 5 से विभाज्य हैं।
यह हमारी प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य पूर्णांक हैं (अर्थात, उनका 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है)।

चूंकि हमारी धारणा गलत साबित हुई है, इसलिए $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या नहीं हो सकती।
अतः, $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

$\text{सिद्ध हुआ कि } \sqrt{5} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}$