सिद्ध कीजिए कि f: N → N जो f(n) = n2 + n + 1 द्वारा परिभाषित है, एकैकी फलन है परन्तु आच्छादक नहीं है, जहाँ N

यहाँ दिए गए फलन f: N N को f(n) = n^2 + n + 1 द्वारा परिभाषित किया गया है। हमें यह सिद्ध करना है कि यह फलन एकैकी (one-to-one) है लेकिन आच्छादक (onto) नहीं है। Step 1: एकैकी फलन सिद्ध करना (Proving one-to-one) एक फलन f एकैकी होता है यदि f(n_1) = f(n_2) का अर्थ n_1 = n_2 हो, जहाँ n_1, n_2 N हैं। मान लीजिए f(n_1) = f(n_2) n_1^2 + n_1 + 1 = n_2^2 + n_2 + 1 दोनों तरफ से 1 घटाने पर: n_1^2 + n_1 = n_2^2 + n_2 पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: n_1^2 - n_2^2 + n_1 - n_2 = 0 वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करने पर (a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)): (n_1 - n_2)(n_1 + n_2) + (n_1 - n_2) = 0 (n_1 - n_2) को उभयनिष्ठ लेने पर: (n_1 - n_2)(n_1 + n_2 + 1) = 0 चूंकि n_1, n_2 प्राकृतिक संख्याएँ हैं (N = \1, 2, 3, \), इसलिए n_1 1 और n_2 1। अतः, n_1 + n_2 + 1 1 + 1 + 1 = 3 होगा। इसका मतलब है कि n_1 + n_2 + 1 कभी भी शून्य नहीं हो सकता। इसलिए, समीकरण (n_1 - n_2)(n_1 + n_2 + 1) = 0 को सत्य होने के लिए n_1 - n_2 को शून्य होना चाहिए। n_1 - n_2 = 0 n_1 = n_2 अतः, फलन f(n) एक एकैकी फलन है। Step 2: आच्छादक फलन नहीं है सिद्ध करना (Proving not onto) एक फलन f: A B आच्छादक होता है यदि B के प्रत्येक अवयव y के लिए, A में एक अवयव x मौजूद हो जैसे कि f(x) = y हो। यहाँ सह-डोमेन (codomain) N = \1, 2, 3, \ है। आइए फलन के कुछ मानों की गणना करें: f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3 f(2) = 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 f(3) = 3^2 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13 फलन के परिसर (range) के मान 3, 7, 13, हैं। सह-डोमेन N में 1 और 2 जैसे अवयव हैं। आइए देखें कि क्या ये परिसर में हैं। यदि f(n) = 1 हो, तो: n^2 + n + 1 = 1 n^2 + n = 0 n(n+1) = 0 इससे n=0 या n=-1 प्राप्त होता है। ये दोनों ही प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं। इसलिए, सह-डोमेन का अवयव 1 फलन के परिसर में नहीं है। इसी प्रकार, यदि f(n) = 2 हो, तो: n^2 + n + 1 = 2 n^2 + n - 1 = 0 द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर n = -1 ± sqrt(1^2 - 4(1)(-1))2(1) = -1 ± sqrt(5)2। ये मान भी प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं। चूंकि सह-डोमेन N में ऐसे अवयव (जैसे 1, 2) मौजूद हैं जो फलन के परिसर में नहीं हैं, इसलिए फलन f(n) आच्छादक फलन नहीं है। निष्कर्ष: हमने सिद्ध कर दिया है कि फलन f(n) = n^2 + n + 1 एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है। अगला प्रश्न भेजो 📸