सिद्ध कीजिए कि f: N → N जो f(n) = n2 + n + 1 द्वारा परिभाषित है, एकैकी फलन है परन्तु आच्छादक नहीं है, जहाँ N

एक फलन $f$ एकैकी होता है यदि $f(n_1) = f(n_2)$ का अर्थ $n_1 = n_2$ हो, जहाँ $n_1, n_2 \in N$ हैं।
मान लीजिए $f(n_1) = f(n_2)$

$$n_1^2 + n_1 + 1 = n_2^2 + n_2 + 1$$

दोनों तरफ से 1 घटाने पर:

$$n_1^2 + n_1 = n_2^2 + n_2$$

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

$$n_1^2 - n_2^2 + n_1 - n_2 = 0$$

वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करने पर ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$):

$$(n_1 - n_2)(n_1 + n_2) + (n_1 - n_2) = 0$$

$(n_1 - n_2)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:

$$(n_1 - n_2)(n_1 + n_2 + 1) = 0$$

चूंकि $n_1, n_2$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं ($N = \{1, 2, 3, \dots\}$), इसलिए $n_1 \ge 1$ और $n_2 \ge 1$।
अतः, $n_1 + n_2 + 1 \ge 1 + 1 + 1 = 3$ होगा।
इसका मतलब है कि $n_1 + n_2 + 1$ कभी भी शून्य नहीं हो सकता।
इसलिए, समीकरण $(n_1 - n_2)(n_1 + n_2 + 1) = 0$ को सत्य होने के लिए $n_1 - n_2$ को शून्य होना चाहिए।

$$n_1 - n_2 = 0 \implies n_1 = n_2$$

अतः, फलन $f(n)$ एक एकैकी फलन है।

एक फलन $f: A \to B$ आच्छादक होता है यदि $B$ के प्रत्येक अवयव $y$ के लिए, $A$ में एक अवयव $x$ मौजूद हो जैसे कि $f(x) = y$ हो। यहाँ सह-डोमेन (codomain) $N = \{1, 2, 3, \dots\}$ है।
आइए फलन के कुछ मानों की गणना करें:
$f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$
$f(2) = 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$
$f(3) = 3^2 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13$
फलन के परिसर (range) के मान $3, 7, 13, \dots$ हैं।
सह-डोमेन $N$ में 1 और 2 जैसे अवयव हैं। आइए देखें कि क्या ये परिसर में हैं।
यदि $f(n) = 1$ हो, तो:

$$n^2 + n + 1 = 1$$ $$n^2 + n = 0$$ $$n(n+1) = 0$$

इससे $n=0$ या $n=-1$ प्राप्त होता है। ये दोनों ही प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं।
इसलिए, सह-डोमेन का अवयव 1 फलन के परिसर में नहीं है।
इसी प्रकार, यदि $f(n) = 2$ हो, तो:

$$n^2 + n + 1 = 2$$ $$n^2 + n - 1 = 0$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$। ये मान भी प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं।
चूंकि सह-डोमेन $N$ में ऐसे अवयव (जैसे $1, 2$) मौजूद हैं जो फलन के परिसर में नहीं हैं, इसलिए फलन $f(n)$ आच्छादक फलन नहीं है।

निष्कर्ष:
हमने सिद्ध कर दिया है कि फलन $f(n) = n^2 + n + 1$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।