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A car's speed in miles per hours (mph), t mins after entering the freeway is by v(t) = -1/200 t3 + 3/20 t2 + 60, t <= 30. From 5 mins after entering the freeway to 15 mins after doing so, what was the car's average speed? The time interval?

Mathematics

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2 parts
a

66,25 mph66,25 \text{ mph}

b

26524 miles≈11,04 miles\frac{265}{24} \text{ miles} \approx 11,04 \text{ miles}

Step-by-step solution

6 steps

Pour résoudre ce problème, nous allons calculer la vitesse moyenne de la voiture et la distance totale parcourue pendant l'intervalle de temps donné.

Part a· 5 steps

Quelle était la vitesse moyenne de la voiture ?

  1. Identifier la fonction de vitesse et l'intervalle de temps.

    La fonction de vitesse est donnée par v(t)=−1200t3+320t2−38t+60v(t) = \frac{-1}{200}t^3 + \frac{3}{20}t^2 - \frac{3}{8}t + 60, où v(t)v(t) est en miles par heure (mph) et tt est en minutes.
    L'intervalle de temps est de t=5t=5 minutes à t=15t=15 minutes, donc a=5a=5 et b=15b=15.

  2. Appliquer la formule de la valeur moyenne d'une fonction.

    La vitesse moyenne VmoyenneV_{\text{moyenne}} d'une fonction continue v(t)v(t) sur l'intervalle [a,b][a, b] est donnée par :

    Vmoyenne=1b−a∫abv(t) dtV_{\text{moyenne}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b v(t)\,dt

    Substituons les valeurs de aa et bb :

    Vmoyenne=115−5∫515(−1200t3+320t2−38t+60) dtV_{\text{moyenne}} = \frac{1}{15-5} \int_5^{15} \left( \frac{-1}{200}t^3 + \frac{3}{20}t^2 - \frac{3}{8}t + 60 \right)\,dt Vmoyenne=110∫515(−1200t3+320t2−38t+60) dtV_{\text{moyenne}} = \frac{1}{10} \int_5^{15} \left( \frac{-1}{200}t^3 + \frac{3}{20}t^2 - \frac{3}{8}t + 60 \right)\,dt

  3. Calculer l'intégrale indéfinie de v(t)v(t).

    ∫(−1200t3+320t2−38t+60) dt=−1200t44+320t33−38t22+60t+C\int \left( \frac{-1}{200}t^3 + \frac{3}{20}t^2 - \frac{3}{8}t + 60 \right)\,dt = \frac{-1}{200} \frac{t^4}{4} + \frac{3}{20} \frac{t^3}{3} - \frac{3}{8} \frac{t^2}{2} + 60t + C =−1800t4+120t3−316t2+60t+C= \frac{-1}{800}t^4 + \frac{1}{20}t^3 - \frac{3}{16}t^2 + 60t + C

    Soit F(t)=−1800t4+120t3−316t2+60tF(t) = \frac{-1}{800}t^4 + \frac{1}{20}t^3 - \frac{3}{16}t^2 + 60t.

  4. Évaluer l'intégrale définie en utilisant le Théorème Fondamental du Calcul.

    ∫515v(t) dt=F(15)−F(5)\int_5^{15} v(t)\,dt = F(15) - F(5)

    Calculons F(15)F(15) :

    F(15)=−1800(15)4+120(15)3−316(15)2+60(15)F(15) = \frac{-1}{800}(15)^4 + \frac{1}{20}(15)^3 - \frac{3}{16}(15)^2 + 60(15) F(15)=−50 625800+3 37520−3×22516+900F(15) = \frac{-50\,625}{800} + \frac{3\,375}{20} - \frac{3 \times 225}{16} + 900 F(15)=−50 625800+135 000800−33 750800+720 000800=770 625800F(15) = \frac{-50\,625}{800} + \frac{135\,000}{800} - \frac{33\,750}{800} + \frac{720\,000}{800} = \frac{770\,625}{800}

    Calculons F(5)F(5) :

    F(5)=−1800(5)4+120(5)3−316(5)2+60(5)F(5) = \frac{-1}{800}(5)^4 + \frac{1}{20}(5)^3 - \frac{3}{16}(5)^2 + 60(5) F(5)=−625800+12520−3×2516+300F(5) = \frac{-625}{800} + \frac{125}{20} - \frac{3 \times 25}{16} + 300 F(5)=−625800+5 000800−3 750800+240 000800=240 625800F(5) = \frac{-625}{800} + \frac{5\,000}{800} - \frac{3\,750}{800} + \frac{240\,000}{800} = \frac{240\,625}{800}

    Maintenant, calculons la différence :

    ∫515v(t) dt=770 625800−240 625800=530 000800=5 3008=1 3252=662,5\int_5^{15} v(t)\,dt = \frac{770\,625}{800} - \frac{240\,625}{800} = \frac{530\,000}{800} = \frac{5\,300}{8} = \frac{1\,325}{2} = 662,5

    L'unité de cette intégrale est (miles/heure) ×\times minutes.

  5. Calculer la vitesse moyenne.

    Vmoyenne=110×662,5=66,25V_{\text{moyenne}} = \frac{1}{10} \times 662,5 = 66,25

    La vitesse moyenne est de 66,25 mph.

    66,25 mph\boxed{66,25 \text{ mph}}

Part b

26524 miles≈11,04 miles\frac{265}{24} \text{ miles} \approx 11,04 \text{ miles}

Quelle distance a-t-il parcourue pendant cet intervalle de temps ?

  1. Calculer la distance parcourue.

    La distance parcourue est l'intégrale de la vitesse par rapport au temps. Puisque v(t)v(t) est en miles par heure (mph) et tt est en minutes, nous devons convertir les minutes en heures pour obtenir la distance en miles. Pour ce faire, nous multiplions l'intégrale par un facteur de conversion de 160\frac{1}{60} (car 1 minute = 160\frac{1}{60} heure).

    Distance=160∫515v(t) dt\text{Distance} = \frac{1}{60} \int_5^{15} v(t)\,dt

    Nous avons déjà calculé ∫515v(t) dt=662,5\int_5^{15} v(t)\,dt = 662,5.

    Distance=160×662,5\text{Distance} = \frac{1}{60} \times 662,5 Distance=662,560=1 325/260=1 325120=26524\text{Distance} = \frac{662,5}{60} = \frac{1\,325/2}{60} = \frac{1\,325}{120} = \frac{265}{24}

    En valeur décimale, la distance est d'environ 11,04 miles.
    La distance parcourue est de 26524\frac{265}{24} miles ou environ 11,04 miles.

    26524 miles≈11,04 miles\boxed{\frac{265}{24} \text{ miles} \approx 11,04 \text{ miles}}
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