This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Pour résoudre ce problème, nous allons calculer la vitesse moyenne de la voiture et la distance totale parcourue pendant l'intervalle de temps donné. a) Quelle était la vitesse moyenne de la voiture ? Step 1: Identifier la fonction de vitesse et l'intervalle de temps. La fonction de vitesse est donnée par v(t) = (-1)/(200)t^3 + (3)/(20)t^2 - (3)/(8)t + 60, où v(t) est en miles par heure (mph) et t est en minutes. L'intervalle de temps est de t=5 minutes à t=15 minutes, donc a=5 et b=15. Step 2: Appliquer la formule de la valeur moyenne d'une fonction. La vitesse moyenne V_moyenne d'une fonction continue v(t) sur l'intervalle [a, b] est donnée par : V_moyenne = (1)/(b-a) _a^b v(t)\,dt Substituons les valeurs de a et b : V_moyenne = (1)/(15-5) _5^15 ( (-1)/(200)t^3 + (3)/(20)t^2 - (3)/(8)t + 60 )\,dt V_moyenne = (1)/(10) _5^15 ( (-1)/(200)t^3 + (3)/(20)t^2 - (3)/(8)t + 60 )\,dt Step 3: Calculer l'intégrale indéfinie de v(t). ( (-1)/(200)t^3 + (3)/(20)t^2 - (3)/(8)t + 60 )\,dt = (-1)/(200) (t^4)/(4) + (3)/(20) (t^3)/(3) - (3)/(8) (t^2)/(2) + 60t + C = (-1)/(800)t^4 + (1)/(20)t^3 - (3)/(16)t^2 + 60t + C Soit F(t) = (-1)/(800)t^4 + (1)/(20)t^3 - (3)/(16)t^2 + 60t. Step 4: Évaluer l'intégrale définie en utilisant le Théorème Fondamental du Calcul. _5^15 v(t)\,dt = F(15) - F(5) Calculons F(15) : F(15) = (-1)/(800)(15)^4 + (1)/(20)(15)^3 - (3)/(16)(15)^2 + 60(15) F(15) = (-50\,625)/(800) + (3\,375)/(20) - (3 × 225)/(16) + 900 F(15) = (-50\,625)/(800) + (135\,000)/(800) - (33\,750)/(800) + (720\,000)/(800) = (770\,625)/(800) Calculons F(5) : F(5) = (-1)/(800)(5)^4 + (1)/(20)(5)^3 - (3)/(16)(5)^2 + 60(5) F(5) = (-625)/(800) + (125)/(20) - (3 × 25)/(16) + 300 F(5) = (-625)/(800) + (5\,000)/(800) - (3\,750)/(800) + (240\,000)/(800) = (240\,625)/(800) Maintenant, calculons la différence : _5^15 v(t)\,dt = (770\,625)/(800) - (240\,625)/(800) = (530\,000)/(800) = (5\,300)/(8) = (1\,325)/(2) = 662,5 L'unité de cette intégrale est (miles/heure) × minutes. Step 5: Calculer la vitesse moyenne. V_moyenne = (1)/(10) × 662,5 = 66,25 La vitesse moyenne est de 66,25 mph. 66,25 mph b) Quelle distance a-t-il parcourue pendant cet intervalle de temps ? Step 6: Calculer la distance parcourue. La distance parcourue est l'intégrale de la vitesse par rapport au temps. Puisque v(t) est en miles par heure (mph) et t est en minutes, nous devons convertir les minutes en heures pour obtenir la distance en miles. Pour ce faire, nous multiplions l'intégrale par un facteur de conversion de (1)/(60) (car 1 minute = (1)/(60) heure). Distance = (1)/(60) _5^15 v(t)\,dt Nous avons déjà calculé _5^15 v(t)\,dt = 662,5. Distance = (1)/(60) × 662,5 Distance = (662,5)/(60) = (1\,325/2)/(60) = (1\,325)/(120) = (265)/(24) En valeur décimale, la distance est d'environ 11,04 miles. La distance parcourue est de (265)/(24) miles ou environ 11,04 miles. (265)/(24) miles ≈ 11,04 miles That's 2 down. 3 left today — send the next one.