A linear transformation of points in 3-dimensional space is defined by the matrix M, where M = [[2, 1, 1], [3, 2, 1], [1, 1, 0]]. Under this transformation, find the image of the points on the line (x-1)/1 = (y−2)/(-1) = (z−1)/(-1).

La droite est donnée par l'équation symétrique : $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{-1}$.
Posons cette expression égale à un paramètre $t$:

Ainsi, tout point sur la droite peut être représenté par le vecteur position $\mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+t \\ 2-t \\ 1-t \end{bmatrix}$.
On peut décomposer ce vecteur en un point de la droite et un vecteur directeur :

Soit $\mathbf{p_0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ un point sur la droite et $\mathbf{d} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$ le vecteur directeur de la droite.

La transformation linéaire est définie par la matrice $M = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
L'image d'un point $\mathbf{r}$ est $\mathbf{r'} = M\mathbf{r}$.
L'image de la droite est donc $\mathbf{r'}(t) = M \left( \mathbf{p_0} + t \mathbf{d} \right) = M \mathbf{p_0} + t (M \mathbf{d})$.

Calculons $M \mathbf{p_0}$:

Calculons $M \mathbf{d}$:

L'image de la droite est donnée par :

Puisque le vecteur directeur transformé est le vecteur nul, tous les points de la droite originale sont transformés en un seul point.

L'image des points sur la droite est le point $(5, 8, 3)$.