A linear transformation of points in 3-dimensional space is defined by the matrix M, where M = [[2, 1, 1], [3, 2, 1], [1, 1, 0]]. Under this transformation, find the image of the points on the line (x-1)/1 = (y-2)/(-1) = (z-1)/(-1).

Voici la résolution du problème. Étape 1 : Représenter la droite sous forme paramétrique. La droite est donnée par l'équation symétrique : (x-1)/(1) = (y-2)/(-1) = (z-1)/(-1). Posons cette expression égale à un paramètre t: (x-1)/(1) = t x = 1+t (y-2)/(-1) = t y = 2-t (z-1)/(-1) = t z = 1-t Ainsi, tout point sur la droite peut être représenté par le vecteur position r(t) = x \\ y \\ z = 1+t \\ 2-t \\ 1-t . On peut décomposer ce vecteur en un point de la droite et un vecteur directeur : r(t) = 1 \\ 2 \\ 1 + t 1 \\ -1 \\ -1 Soit p_0 = 1 \\ 2 \\ 1 un point sur la droite et d = 1 \\ -1 \\ -1 le vecteur directeur de la droite. Étape 2 : Appliquer la transformation linéaire. La transformation linéaire est définie par la matrice M = 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 . L'image d'un point r est r' = Mr. L'image de la droite est donc r'(t) = M ( p_0 + t d ) = M p_0 + t (M d). Étape 3 : Calculer l'image du point p_0. Calculons M p_0: M 1 \\ 2 \\ 1 = 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 1 \\ 2 \\ 1 = 2(1)+1(2)+1(1) \\ 3(1)+2(2)+1(1) \\ 1(1)+1(2)+0(1) = 2+2+1 \\ 3+4+1 \\ 1+2+0 = 5 \\ 8 \\ 3 Étape 4 : Calculer l'image du vecteur directeur d. Calculons M d: M 1 \\ -1 \\ -1 = 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 1 \\ -1 \\ -1 = 2(1)+1(-1)+1(-1) \\ 3(1)+2(-1)+1(-1) \\ 1(1)+1(-1)+0(-1) = 2-1-1 \\ 3-2-1 \\ 1-1-0 = 0 \\ 0 \\ 0 Étape 5 : Déterminer l'image de la droite. L'image de la droite est donnée par : r'(t) = 5 \\ 8 \\ 3 + t 0 \\ 0 \\ 0 = 5 \\ 8 \\ 3 Puisque le vecteur directeur transformé est le vecteur nul, tous les points de la droite originale sont transformés en un seul point. L'image des points sur la droite est le point (5, 8, 3). That's 2 down. 3 left today — send the next one.