Analyze the function f(x) = racx2 − 2x + 2x − 1 by determining its domain, limits, first derivative, variations, and asymptotes.

الدالة $f(x)$ هي دالة كسرية، لذا يجب أن يكون المقام لا يساوي الصفر.

إذن، مجموعة تعريف الدالة هي:

نحسب النهايات عند حدود مجموعة التعريف:

• عند $-\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to -\infty} x = -\infty$$
• عند $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty$$
• عند 1 من اليسار ($1^-$): $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$$ البسط يقترب من $1^2 - 2(1) + 2 = 1$. المقام يقترب من $0^-$. $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{1}{0^-} = -\infty$$
• عند 1 من اليمين ($1^+$): $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$$ البسط يقترب من 1. المقام يقترب من $0^+$. $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty$$

نحسب المشتقة الأولى للدالة $f(x)$ باستخدام قاعدة مشتقة القسمة $\left(\