At a party attended by 50 guests all of them took water (W), 30 guests took juice incl. water (J), 25 guests took Soda and water (S), P guests took all the three drinks while 7 guests took water only. Use the above information to complete the venn diagram below.

Tunajua kuwa idadi ya watu waliochukua maji pekee ni jumla ya watu waliochukua maji (50) kutoa idadi ya watu waliochukua juisi au soda (au zote mbili).
Idadi ya watu waliochukua juisi au soda ni $n(J \cup S)$.
Tunatumia kanuni ya ujumuishaji na kutengwa kwa seti mbili:

Idadi ya watu waliochukua maji pekee ni:

Hivyo, $n(J \cap S) = 12$.

Kwa kuwa diagramu iliyotolewa inaonyesha W na S, lakini maelezo yanaonyesha J na S kama seti ndogo za W, tutachora diagramu ya Venn yenye seti tatu (W, J, S) ambapo W ni seti kuu, na J na S ziko ndani ya W.

• Idadi ya watu waliochukua juisi na soda (zote tatu) ni $P = 12$.
• Idadi ya watu waliochukua juisi pekee (ndani ya W, bila soda) ni $n(J \text{ pekee}) = n(J) - n(J \cap S) = 30 - 12 = 18$.
• Idadi ya watu waliochukua soda pekee (ndani ya W, bila juisi) ni $n(S \text{ pekee}) = n(S) - n(J \cap S) = 25 - 12 = 13$.
• Idadi ya watu waliochukua maji pekee (bila juisi au soda) ni 7.

Diagramu ya Venn itakuwa na mstatili unaowakilisha W (wageni 50). Ndani ya W, kutakuwa na duara mbili zinazopishana, J na S.

• Sehemu ya J pekee: 18
• Sehemu ya S pekee: 13
• Sehemu ya J na S (intersection): 12
• Sehemu ya W pekee (nje ya J na S): 7 Jumla: $18 + 13 + 12 + 7 = 50$.

2. Gharama ya Vitu:

Acha $R$ iwe gharama ya rula.

• Gharama ya kitabu: $B = 2R$.
• Gharama ya seti ya hisabati: $M = 2R + 5000$.
• Gharama ya penseli: $P_c = \frac{1}{2}R$. Jumla ya gharama ni Sh. 16,000.

Gharama ya penseli $P_c = \frac{1}{2}R = \frac{1}{2} \times 2000 = 1000$.
Gharama ya penseli ni Sh. 1000.

3. Ujenzi wa Pembetatu:
Hili ni swali la ujenzi wa kijiometri. Hapa chini ni hatua za jinsi ya kuijenga:

Mstari huu ni bisector ya pembeni kutoka C hadi AB. Pointi ambapo inakutana na AB iite M.

4. Idadi ya Kalamu:

a) Kokotoa jumla ya idadi ya kalamu dukani.

Kila sanduku kubwa lina masanduku madogo 50.
Kila sanduku dogo lina kalamu 24.
Idadi ya kalamu kwenye sanduku moja kubwa = $50 \text{ masanduku madogo} \times 24 \text{ kalamu/sanduku dogo} = 1200 \text{ kalamu}$.

Kuna masanduku makubwa 5.
Jumla ya kalamu = $5 \text{ masanduku makubwa} \times 1200 \text{ kalamu/sanduku kubwa} = 6000 \text{ kalamu}$.
Jumla ya kalamu dukani ni 6000.

b) Tafuta idadi ndogo zaidi ya kalamu za ziada zitakazohitajika.

Jumla ya kalamu = 6000.
Idadi ya wanafunzi = 55.

Hii inamaanisha kila mwanafunzi atapata kalamu 109, na zitabaki kalamu 5.

Ili kila mwanafunzi apate idadi sawa ya kalamu bila salio, tunahitaji kuongeza kalamu ili jumla iwe nambari inayoweza kugawanywa kikamilifu na 55.
Salio lililopo ni 5.
Kalamu za ziada zinazohitajika = $55 - 5 = 50$.
Idadi ndogo zaidi ya kalamu za ziada zinazohitajika ni 50.

5. Uwiano na Pesa:

Acha $x$ iwe kizidishi cha kawaida.

• Hisa ya Mary = $2x$.
• Hisa ya John = $3x$.
• Hisa ya Paul = $5x$.

Paul alipata Sh. 80,000 zaidi ya Mary.

• Hisa ya Mary = $2x = 2 \times \frac{80000}{3} = \frac{160000}{3} \approx \text{Sh. } 53333.33$.
• Hisa ya John = $3x = 3 \times \frac{80000}{3} = \text{Sh. } 80000$.
• Hisa ya Paul = $5x = 5 \times \frac{80000}{3} = \frac{400000}{3} \approx \text{Sh. } 133333.33$.

Swali linauliza "Sarah alipata kiasi gani?". Sarah hajatajwa katika swali. Kwa hivyo, hatuwezi kujua Sarah alipata kiasi gani.

6. Eneo la Mraba Lisilofunikwa na Miduara:

Kila duara lina rediasi ya 7cm. Miduara minne ya robo-duara imewekwa kwenye pembe za mraba.
Urefu wa upande wa mraba ni mara mbili ya rediasi ya duara.
Urefu wa upande $s = 2 \times 7 \text{ cm} = 14 \text{ cm}$.

Eneo la mraba $A_{mraba} = s^2 = (14 \text{ cm})^2 = 196 \text{ cm}^2$.

Robo-duara nne huunda duara kamili moja.
Rediasi $r = 7 \text{ cm}$.
Eneo la duara kamili $A_{duara} = \pi r^2$. Tumia $\pi = \frac{22}{7}$.

Eneo lisilofunikwa = Eneo la mraba - Eneo la duara kamili.

Eneo la mraba lisilofunikwa na miduara ni 42 cm².

7. Bei za Soko:

Acha $W$ iwe gharama ya tikiti maji.
Acha $J$ iwe gharama ya fenesi.
Acha $P_u$ iwe gharama ya boga.

• Tikiti maji inagharimu Sh. 2500 chini ya fenesi: $W = J - 2500 \implies J = W + 2500$.
• Boga inagharimu theluthi mbili ya gharama ya tikiti maji: $P_u = \frac{2}{5}W$.
• Melissa alilipa Sh. 18000 kwa tikiti maji 4 na boga 5: $4W + 5P_u = 18000$.

Gharama ya tikiti maji ni Sh. 3000.

Gharama ya boga ni Sh. 1200.

8. Jumla ya Nambari Sambamba:

Acha nambari ya kwanza iwe $x$.
Nambari nne sambamba zitakuwa: $x, x+2, x+4, x+6$.

Jumla ya nambari nne sambamba ni 68.

• Nambari ya kwanza: $x = 14$.
• Nambari ya pili: $x+2 = 14+2 = 16$.
• Nambari ya tatu: $x+4 = 14+4 = 18$.
• Nambari ya nne: $x+6 = 14+6 = 20$. N