This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici les solutions détaillées pour les exercices demandés. EXERCICE 1 Soit la matrice A = 0 & -20 & -14 \\ 3 & 27 & -4 \\ 4 & 11 & -2 . 1) Décomposition A=QR par la méthode de Gram-Schmidt et de Householder. Méthode de Gram-Schmidt: Soient les colonnes de A: a_1 = 0 \\ 3 \\ 4 , a_2 = -20 \\ 27 \\ 11 , a_3 = -14 \\ -4 \\ -2 . Step 1: Calcul du premier vecteur orthogonal e_1. ||a_1|| = sqrt(0^2 + 3^2 + 4^2) = sqrt(25) = 5 e_1 = a_1||a_1|| = (1)/(5) 0 \\ 3 \\ 4 = 0 \\ 3/5 \\ 4/5 Step 2: Calcul du deuxième vecteur orthogonal u_2. r_12 = a_2 · e_1 = (-20)(0) + (27)(3/5) + (11)(4/5) = 0 + (81)/(5) + (44)/(5) = (125)/(5) = 25 u_2 = a_2 - r_12e_1 = -20 \\ 27 \\ 11 - 25 0 \\ 3/5 \\ 4/5 = -20 \\ 27 \\ 11 - 0 \\ 15 \\ 20 = -20 \\ 12 \\ -9 Step 3: Calcul du deuxième vecteur unitaire e_2. ||u_2|| = sqrt((-20)^2 + 12^2 + (-9)^2) = sqrt(400 + 144 + 81) = sqrt(625) = 25 e_2 = u_2||u_2|| = (1)/(25) -20 \\ 12 \\ -9 = -4/5 \\ 12/25 \\ -9/25 Step 4: Calcul du troisième vecteur orthogonal u_3. r_13 = a_3 · e_1 = (-14)(0) + (-4)(3/5) + (-2)(4/5) = 0 - (12)/(5) - (8)/(5) = -(20)/(5) = -4 r_23 = a_3 · e_2 = (-14)(-4/5) + (-4)(12/25) + (-2)(-9/25) = (56)/(5) - (48)/(25) + (18)/(25) = (280 - 48 + 18)/(25) = (250)/(25) = 10 u_3 = a_3 - r_13e_1 - r_23e_2 = -14 \\ -4 \\ -2 - (-4) 0 \\ 3/5 \\ 4/5 - 10 -4/5 \\ 12/25 \\ -9/25 u_3 = -14 \\ -4 \\ -2 + 0 \\ 12/5 \\ 16/5 - -40/5 \\ 24/5 \\ -18/5 = -14+8 \\ -4+12/5-24/5 \\ -2+16/5+18/5 = -6 \\ -32/5 \\ 24/5 Step 5: Calcul du troisième vecteur unitaire e_3. ||u_3|| = sqrt((-6)^2 + (-32/5)^2 + (24/5)^2) = sqrt(36 + (1024)/(25) + (576)/(25)) = sqrt(36 + (1600)/(25)) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10 e_3 = u_3||u_3|| = (1)/(10) -6 \\ -32/5 \\ 24/5 = -3/5 \\ -16/25 \\ 12/25 Step 6: Construction des matrices Q et R. La matrice Q est formée par les vecteurs e_1, e_2, e_3 comme colonnes. Q = 0 & -4/5 & -3/5 \\ 3/5 & 12/25 & -16/25 \\ 4/5 & -9/25 & 12/25 La matrice R est triangulaire supérieure avec les éléments r_ij = a_j · e_i pour i j. R = ||a_1|| & r_12 & r_13 \\ 0 & ||u_2|| & r_23 \\ 0 & 0 & ||u_3|| = 5 & 25 & -4 \\ 0 & 25 & 10 \\ 0 & 0 & 10 Les éléments diagonaux de R sont strictement positifs. La décomposition QR par Gram-Schmidt est: Q = 0 & -4/5 & -3/5 \\ 3/5 & 12/25 & -16/25 \\ 4/5 & -9/25 & 12/25 R = 5 & 25 & -4 \\ 0 & 25 & 10 \\ 0 & 0 & 10 Méthode de Householder: La méthode de Householder consiste à appliquer une série de transformations orthogonales (réflecteurs de Householder) à la matrice A pour la transformer en une matrice triangulaire supérieure R. Chaque réflecteur H_k est de la forme H_k = I - 2 v_k v_k^T||v_k||^2. La matrice Q est le produit des transposées de ces réflecteurs: Q = H_1^T H_2^T . Step 1: Construction du premier réflecteur H_1. Pour la première colonne x_1 = 0 \\ 3 \\ 4 , on choisit _1 = -||x_1|| = -5. v_1 = x_1 - _1 e_1 = 0 \\ 3 \\ 4 - -5 \\ 0 \\ 0 = 5 \\ 3 \\ 4 . ||v_1||^2 = 5^2+3^2+4^2 = 50. H_1 = I - (2)/(50) v_1 v_1^T = I - (1)/(25) 25 & 15 & 20 \\ 15 & 9 & 12 \\ 20 & 12 & 16 = (1)/(25) 0 & -15 & -20 \\ -15 & 16 & -12 \\ -20 & -12 & 9 . Step 2: Application de H_1 à A. A_1 = H_1 A = (1)/(25) 0 & -15 & -20 \\ -15 & 16 & -12 \\ -20 & -12 & 9 0 & -20 & -14 \\ 3 & 27 & -4 \\ 4 & 11 & -2 = -5 & -25 & 4 \\ 0 & 25 & 10 \\ 0 & 0 & 10 . Note: Les éléments diagonaux de R doivent être positifs. Si _1 est choisi comme -||x_1||, le premier élément de R sera négatif. Pour avoir des éléments diagonaux positifs, on peut choisir _1 = ||x_1|| = 5. Si _1 = 5, alors v_1 = -5 \\ 3 \\ 4 , ||v_1||^2 = 50. H_1 = I - (1)/(25) 25 & -15 & -20 \\ -15 & 9 & 12 \\ -20 & 12 & 16 = (1)/(25) 0 & 15 & 20 \\ 15 & 16 & -12 \\ 20 & -12 & 9 . A_1 = H_1 A = (1)/(25) 0 & 15 & 20 \\ 15 & 16 & -12 \\ 20 & -12 & 9 0 & -20 & -14 \\ 3 & 27 & -4 \\ 4 & 11 & -2 = 5 & 25 & -4 \\ 0 & 25 & 10 \\ 0 & 0 & 10 . Cette matrice est R. Elle est identique à celle obtenue par Gram-Schmidt. Step 3: Construction du deuxième réflecteur H_2. Pour la sous-matrice A_1' (ignorant la première ligne et colonne), on considère la première colonne x_2 = 25 \\ 0 de la sous-matrice 25 & 10 \\ 0 & 10 . On veut transformer x_2 en _2 e_1 = _2 \\ 0 . _2 = -sgn(25) ||x_2|| = -25. v_2 = x_2 - _2 e_1 = 25 \\ 0 - -25 \\ 0 = 50 \\ 0 . ||v_2||^2 = 50^2 = 2500. H_2' = I - (2)/(2500) 50 \\ 0 50 & 0 = 1 & 0 \\ 0 & 1 - (1)/(1250) 2500 & 0 \\ 0 & 0 = -1 & 0 \\ 0 & 1 . Le réflecteur H_2 pour la matrice A_1 est: H_2 = 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 . Cependant, la matrice A_1 est déjà triangulaire supérieure. Donc H_2 n'est pas nécessaire pour la rendre triangulaire supérieure. La matrice R est A_1. Step 4: Calcul de Q. Q = H_1^T = H_1 (car H_1 est symétrique). Q = (1)/(25) 0 & 15 & 20 \\ 15 & 16 & -12 \\ 20 & -12 & 9 Pour que Q soit identique à celle de Gram-Schmidt, il faut que les signes soient cohérents. Si on prend Q_GS = 0 & -4/5 & -3/5 \\ 3/5 & 12/25 & -16/25 \\ 4/5 & -9/25 & 12/25 , alors Q_GS R_GS = A. Si on prend Q_HH = (1)/(25) 0 & 15 & 20 \\ 15 & 16 & -12 \\ 20 & -12 & 9 , alors Q_HH R_HH = A. Les matrices Q obtenues par Gram-Schmidt et Householder peuvent différer par les signes des colonnes. Pour que les éléments diagonaux de R soient positifs, les colonnes de Q doivent être orientées de manière spécifique. La Q de Gram-Schmidt est: Q_GS = 0 & -4/5 & -3/5 \\ 3/5 & 12/25 & -16/25 \\ 4/5 & -9/25 & 12/25 La R de Gram-Schmidt est: R_GS = 5 & 25 & -4 \\ 0 & 25 & 10 \\ 0 & 0 & 10 La Q de Householder (avec _1 = ||x_1||) est: Q_HH = (1)/(25) 0 & 15 & 20 \\ 15 & 16 & -12 \\ 20 & -12 & 9 = 0 & 3/5 & 4/5 \\ 3/5 & 16/25 & -12/25 \\ 4/5 & -12/25 & 9/25 La R de Householder est: R_HH = 5 & 25 & -4 \\ 0 & 25 & 10 \\ 0 & 0 & 10 Les matrices Q sont différentes. La question demande de décomposer A en QR en utilisant les deux méthodes. Les résultats sont valides pour chaque méthode. Les matrices Q et R sont uniques si les éléments diagonaux de R sont positifs. Il y a une erreur dans mon calcul de Q_HH ou dans l'interprétation de la question. La matrice Q de Householder est le produit des $H_ ✂️ _That answer was long and got cut off. Reply continue and I'll finish it._