Décomposer A sous la forme A = QR où Q une matrice orthogonale et R une matrice triangulaire supérieure à éléments diagonaux strictement positifs en utilisant la méthode de Gram-Schmidt et de Householder.

La matrice $Q$ est formée par les vecteurs $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}$ comme colonnes.

La matrice $R$ est triangulaire supérieure avec les éléments $r_{ij} = \vec{a_j} \cdot \vec{e_i}$ pour $i \le j$.

Les éléments diagonaux de $R$ sont strictement positifs.

La décomposition $QR$ par Gram-Schmidt est:

Méthode de Householder:
La méthode de Householder consiste à appliquer une série de transformations orthogonales (réflecteurs de Householder) à la matrice $A$ pour la transformer en une matrice triangulaire supérieure $R$. Chaque réflecteur $H_k$ est de la forme $H_k = I - 2 \frac{\vec{v_k} \vec{v_k}^T}{||\vec{v_k}||^2}$. La matrice $Q$ est le produit des transposées de ces réflecteurs: $Q = H_1^T H_2^T \dots$.

Pour la première colonne $\vec{x_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, on choisit $\alpha_1 = -||\vec{x_1}|| = -5$.
$\vec{v_1} = \vec{x_1} - \alpha_1 \vec{e_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
$||\vec{v_1}||^2 = 5^2+3^2+4^2 = 50$.
$H_1 = I - \frac{2}{50} \vec{v_1} \vec{v_1}^T = I - \frac{1}{25} \begin{pmatrix} 25 & 15 & 20 \\ 15 & 9 & 12 \\ 20 & 12 & 16 \end{pmatrix} = \frac{1}{25} \begin{pmatrix} 0 & -15 & -20 \\ -15 & 16 & -12 \\ -20 & -12 & 9 \end{pmatrix}$.

$A_1 = H_1 A = \frac{1}{25} \begin{pmatrix} 0 & -15 & -20 \\ -15 & 16 & -12 \\ -20 & -12 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -20 & -14 \\ 3 & 27 & -4 \\ 4 & 11 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -25 & 4 \\ 0 & 25 & 10 \\ 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}$.
Note: Les éléments diagonaux de $R$ doivent être positifs. Si $\alpha_1$ est choisi comme $-||\vec{x_1}||$, le premier élément de $R$ sera négatif. Pour avoir des éléments diagonaux positifs, on peut choisir $\alpha_1 = ||\vec{x_1}|| = 5$.
Si $\alpha_1 = 5$, alors $\vec{v_1} = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $||\vec{v_1}||^2 = 50$.
$H_1 = I - \frac{1}{25} \begin{pmatrix} 25 & -15 & -20 \\ -15 & 9 & 12 \\ -20 & 12 & 16 \end{pmatrix} = \frac{1}{25} \begin{pmatrix} 0 & 15 & 20 \\ 15 & 16 & -12 \\ 20 & -12 & 9 \end{pmatrix}$.
$A_1 = H_1 A = \frac{1}{25} \begin{pmatrix} 0 & 15 & 20 \\ 15 & 16 & -12 \\ 20 & -12 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -20 & -14 \\ 3 & 27 & -4 \\ 4 & 11 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 25 & -4 \\ 0 & 25 & 10 \\ 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}$.
Cette matrice est $R$. Elle est identique à celle obtenue par Gram-Schmidt.

Pour la sous-matrice $A_1'$ (ignorant la première ligne et colonne), on considère la première colonne $\vec{x_2} = \begin{pmatrix} 25 \\ 0 \end{pmatrix}$ de la sous-matrice $\begin{pmatrix} 25 & 10 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}$.
On veut transformer $\vec{x_2}$ en $\alpha_2 \vec{e_1} = \begin{pmatrix} \alpha_2 \\ 0 \end{pmatrix}$.
$\alpha_2 = -sgn(25) ||\vec{x_2}|| = -25$.
$\vec{v_2} = \vec{x_2} - \alpha_2 \vec{e_1} = \begin{pmatrix} 25 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -25 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 0 \end{pmatrix}$.
$||\vec{v_2}||^2 = 50^2 = 2500$.
$H_2' = I - \frac{2}{2500} \begin{pmatrix} 50 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 50 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{1250} \begin{pmatrix} 2500 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Le réflecteur $H_2$ pour la matrice $A_1$ est:
$H_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Cependant, la matrice $A_1$ est déjà triangulaire supérieure. Donc $H_2$ n'est pas nécessaire pour la rendre triangulaire supérieure.
La matrice $R$ est $A_1$.

$Q = H_1^T = H_1$ (car $H_1$ est symétrique).

Pour que $Q$ soit identique à celle de Gram-Schmidt, il faut que les signes soient cohérents.
Si on prend $Q_{GS} = \begin{pmatrix} 0 & -4/5 & -3/5 \\ 3/5 & 12/25 & -16/25 \\ 4/5 & -9/25 & 12/25 \end{pmatrix}$, alors $Q_{GS} R_{GS} = A$.
Si on prend $Q_{HH} = \frac{1}{25} \begin{pmatrix} 0 & 15 & 20 \\ 15 & 16 & -12 \\ 20 & -12 & 9 \end{pmatrix}$, alors $Q_{HH} R_{HH} = A$.
Les matrices $Q$ obtenues par Gram-Schmidt et Householder peuvent différer par les signes des colonnes. Pour que les éléments diagonaux de $R$ soient positifs, les colonnes de $Q$ doivent être orientées de manière spécifique.
La $Q$ de Gram-Schmidt est:

La $R$ de Gram-Schmidt est:

La $Q$ de Householder (avec $\alpha_1 = ||\vec{x_1}||$) est:

La $R$ de Householder est:

Les matrices $Q$ sont différentes. La question demande de décomposer $A$ en $QR$ en utilisant les deux méthodes. Les résultats sont valides pour chaque méthode. Les matrices $Q$ et $R$ sont uniques si les éléments diagonaux de $R$ sont positifs. Il y a une erreur dans mon calcul de $Q_{HH}$ ou dans l'interprétation de la question.
La matrice $Q$ de Householder est le produit des $H_