b) lim (x->-inf) sqrt(x2+1) + x

L'expression conjuguée de $\sqrt{x^2+1} + x$ est $\sqrt{x^2+1} - x$.

$$\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2+1} + x \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{\left( \sqrt{x^2+1} + x \right) \left( \sqrt{x^2+1} - x \right)}{\sqrt{x^2+1} - x}$$

$$= \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2+1})^2 - x^2}{\sqrt{x^2+1} - x}$$ $$= \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+1 - x^2}{\sqrt{x^2+1} - x}$$ $$= \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1} - x}$$

Lorsque $x \to -\infty$, nous avons :

• $\sqrt{x^2+1} \to \sqrt{(-\infty)^2+1} = \sqrt{+\infty} = +\infty$
• $-x \to -(-\infty) = +\infty$ Donc, le dénominateur $\sqrt{x^2+1} - x$ tend vers $+\infty + (+\infty) = +\infty$.

Puisque le numérateur est une constante (1) et le dénominateur tend vers $+\infty$, la limite de la fraction est 0.

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1} - x} = 0$$

La limite est :

$$0$$