Limx->+inf sqrt(4x2+x+1) and limx->+inf sqrt((x3-1)/(x+2)) and lim_x->-inf sqrt((x3-1)/(x+2))

Nous avons une fonction rationnelle $\frac{x^3 - 1}{x+2}$. Lorsque $x \to +\infty$, la limite d'une fonction rationnelle est déterminée par le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{x+2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x}$$

Lorsque $x \to +\infty$, $x^2$ tend vers $+\infty$.

$$\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$$

Puisque l'expression sous la racine tend vers $+\infty$, la racine carrée de cette expression tend également vers $+\infty$.

$$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x^3 - 1}{x+2}} = \sqrt{+\infty} = +\infty$$

La limite est donc :

$$\boxed{+\infty}$$

De même que précédemment, nous considérons le rapport des termes de plus haut degré.

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 - 1}{x+2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x}$$

Lorsque $x \to -\infty$, $x^2$ tend vers $+\infty$ (car un nombre négatif élevé au carré devient positif et sa valeur absolue augmente).

$$\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$$

Puisque l'expression sous la racine tend vers $+\infty$, la racine carrée de cette expression tend également vers $+\infty$.

$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x^3 - 1}{x+2}} = \sqrt{+\infty} = +\infty$$

La limite est donc :

$$\boxed{+\infty}$$