lim_x infinity sqrt(x2+x+1)

Question

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

Bonjour cheick,

Pour calculer cette limite, nous allons identifier le terme dominant sous la racine carrée lorsque $x$ tend vers $+\infty$ .

Identifier le comportement de l'expression sous la racine.
Lorsque $x \to +\infty$ , le terme $4x^2$ est le terme dominant dans l'expression $4x^2 + x + 1$ .
Les termes $x$ et 1 deviennent négligeables par rapport à $4x^2$ .
Donc, $4x^2 + x + 1$ tend vers $+\infty$ lorsque $x \to +\infty$ .
Évaluer la limite de la racine carrée.
Puisque l'expression sous la racine tend vers $+\infty$ , la racine carrée de cette expression tend également vers $+\infty$ .
$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4x^2 + x + 1} = \sqrt{+\infty} = +\infty$
Alternativement, on peut factoriser le terme de plus haut degré sous la racine :
$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4x^2 + x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 \left(4 + \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}\right)}$ $= \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 \left(4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}$
Comme $x \to +\infty$ , $\sqrt{x^2} = |x| = x$ .
$= \lim_{x \to +\infty} x \sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}$
Lorsque $x \to +\infty$ , $\frac{1}{x} \to 0$ et $\frac{1}{x^2} \to 0$ .
Donc, $\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \to \sqrt{4 + 0 + 0} = \sqrt{4} = 2$ .
La limite devient :
$\lim_{x \to +\infty} x \cdot 2 = +\infty \cdot 2 = +\infty$

Lim_x infinity sqrt(x2+x+1)