Bon tu reprends le cours. Et tu donnes des exemples pour chaque cas que ça soit sur ine droite,plan et l'espace. Commençons par là où la somme des coefficients est différent de vecteur nul
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Absolument ! Reprenons la fonction scalaire de Leibniz en détail, en nous concentrant sur le cas où la somme des coefficients est non nulle.
Step-by-step solution
9 stepsLa Fonction Scalaire de Leibniz (Σ αᵢ ≠ 0)
Soit un système de n points fixes (A₁, A₂, ..., Aₙ) de l'espace et des coefficients réels associés (α₁, α₂, ..., αₙ).
La fonction scalaire de Leibniz, notée f(M), est définie pour tout point M de l'espace par :
f(M) = α₁MA₁² + α₂MA₂² + ... + αₙMAₙ² = Σ αᵢMAᵢ²
Cas où la somme des coefficients est non nulle : Σ αᵢ ≠ 0
Si la somme des coefficients Σ αᵢ = α₁ + α₂ + ... + αₙ est non nulle, alors il existe un unique point G appelé le barycentre du système (Aᵢ, αᵢ). Ce point G est défini par la relation vectorielle :
α₁GA₁ + α₂GA₂ + ... + αₙGAₙ = 0 (vecteur nul)
Ou de manière équivalente :
(Σ αᵢ) OG = Σ αᵢOAᵢ pour tout point O de l'espace.
En utilisant la relation de Chasles (MAᵢ = MG + GAᵢ) et les propriétés du barycentre, on peut transformer l'expression de f(M) :
f(M) = Σ αᵢ(MG + GAᵢ)²
f(M) = Σ αᵢ(MG² + 2MG·GAᵢ + GAᵢ²)
f(M) = Σ αᵢMG² + Σ 2αᵢMG·GAᵢ + Σ αᵢGAᵢ²
f(M) = (Σ αᵢ) MG² + 2MG·(Σ αᵢGAᵢ) + Σ αᵢGAᵢ²
Puisque G est le barycentre, Σ αᵢGAᵢ = 0 (vecteur nul).
Donc, 2MG·(Σ αᵢGAᵢ) = 0.
L'expression de la fonction de Leibniz se simplifie alors en :
f(M) = (Σ αᵢ) MG² + Σ αᵢGAᵢ²
Où Σ αᵢGAᵢ² est une constante (c'est la valeur de f(G)).
Cette forme est très puissante car elle permet de déterminer facilement la nature de l'ensemble des points M pour lesquels f(M) est égale à une constante k.
- Si Σ αᵢ > 0 : f(M) est minimale lorsque MG² est minimal, c'est-à-dire lorsque M = G. L'ensemble des points M tels que f(M) = k est un cercle (dans le plan) ou une sphère (dans l'espace) de centre G, si k ≥ f(G).
- Si Σ αᵢ < 0 : f(M) est maximale lorsque MG² est minimal, c'est-à-dire lorsque M = G. L'ensemble des points M tels que f(M) = k est un cercle ou une sphère de centre G, si k ≤ f(G).
Exemples d'application
1. Sur une droite (1D)
Soient deux points A et B sur une droite, d'abscisses respectives x_A = 0 et x_B = 6.
On considère la fonction f(M) = MA² + 3MB².
Déterminer le barycentre G.
La somme des coefficients est Σ αᵢ = 1 + 3 = 4 ≠ 0.
G est le barycentre de (A, 1) et (B, 3).
Soit x_M l'abscisse de M et x_G l'abscisse de G.
x_G = (1·x_A + 3·x_B) / (1 + 3)
x_G = (1·0 + 3·6) / 4
x_G = 18 / 4 = 4,5
Le point G a pour abscisse 4,5.Réécrire f(M) sous la forme simplifiée.
f(M) = (Σ αᵢ) MG² + f(G)
f(M) = 4MG² + (1·GA² + 3·GB²)
Calculons GA² et GB².
GA = |x_G - x_A| = |4,5 - 0| = 4,5. Donc GA² = 4,5² = 20,25.
GB = |x_G - x_B| = |4,5 - 6| = |-1,5| = 1,5. Donc GB² = 1,5² = 2,25.
f(G) = 1·20,25 + 3·2,25 = 20,25 + 6,75 = 27.
Donc, f(M) = 4MG² + 27.Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M) = 31.
On a 4MG² + 27 = 31.
4MG² = 31 - 27
4MG² = 4
MG² = 1
MG = 1
L'ensemble des points M est constitué des deux points situés à une distance de 1 de G sur la droite. Leurs abscisses sont x_G - 1 = 4,5 - 1 = 3,5 et x_G + 1 = 4,5 + 1 = 5,5.2. Dans le plan (2D)
Soient trois points A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(2 ; 2) dans le plan.
On considère la fonction f(M) = MA² + MB² + MC².Déterminer le barycentre G.
La somme des coefficients est Σ αᵢ = 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 0.
G est le barycentre de (A, 1), (B, 1) et (C, 1), c'est-à-dire l'isobarycentre du triangle ABC.
Les coordonnées de G(x_G ; y_G) sont :
x_G = (x_A + x_B + x_C) / 3 = (0 + 4 + 2) / 3 = 6 / 3 = 2
y_G = (y_A + y_B + y_C) / 3 = (0 + 0 + 2) / 3 = 2 / 3
Le point G a pour coordonnées (2 ; 2/3).Réécrire f(M) sous la forme simplifiée.
f(M) = (Σ αᵢ) MG² + f(G)
f(M) = 3MG² + (GA² + GB² + GC²)
Calculons GA², GB² et GC².
GA² = (x_G - x_A)² + (y_G - y_A)² = (2 - 0)² + (2/3 - 0)² = 2² + (2/3)² = 4 + 4/9 = 36/9 + 4/9 = 40/9.
GB² = (x_G - x_B)² + (y_G - y_B)² = (2 - 4)² + (2/3 - 0)² = (-2)² + (2/3)² = 4 + 4/9 = 40/9.
GC² = (x_G - x_C)² + (y_G - y_C)² = (2 - 2)² + (2/3 - 2)² = 0² + (2/3 - 6/3)² = 0 + (-4/3)² = 16/9.
f(G) = 40/9 + 40/9 + 16/9 = (40 + 40 + 16) / 9 = 96/9 = 32/3.
Donc, f(M) = 3MG² + 32/3.Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M) = 44/3.
On a 3MG² + 32/3 = 44/3.
3MG² = 44/3 - 32/3
3MG² = 12/3
3MG² = 4
MG² = 4/3
MG = √(4/3) = 2/√(3) = (2√3)/3
L'ensemble des points M est le cercle de centre G(2 ; 2/3) et de rayon (2√3)/3.3. Dans l'espace (3D)
Soient deux points A(1 ; 0 ; 0) et B(0 ; 2 ; 0) dans l'espace.
On considère la fonction f(M) = 2MA² - MB².Déterminer le barycentre G.
La somme des coefficients est Σ αᵢ = 2 + (-1) = 1 ≠ 0.
G est le barycentre de (A, 2) et (B, -1).
Les coordonnées de G(x_G ; y_G ; z_G) sont :
x_G = (2·x_A + (-1)·x_B) / (2 - 1) = (2·1 - 1·0) / 1 = 2
y_G = (2·y_A + (-1)·y_B) / (2 - 1) = (2·0 - 1·2) / 1 = -2
z_G = (2·z_A + (-1)·z_B) / (2 - 1) = (2·0 - 1·0) / 1 = 0
Le point G a pour coordonnées (2 ; -2 ; 0).Réécrire f(M) sous la forme simplifiée.
f(M) = (Σ αᵢ) MG² + f(G)
f(M) = 1·MG² + (2GA² - GB²)
Calculons GA² et GB².
GA² = (x_G - x_A)² + (y_G - y_A)² + (z_G - z_A)² = (2 - 1)² + (-2 - 0)² + (0 - 0)² = 1² + (-2)² + 0² = 1 + 4 = 5.
GB² = (x_G - x_B)² + (y_G - y_B)² + (z_G - z_B)² = (2 - 0)² + (-2 - 2)² + (0 - 0)² = 2² + (-4)² + 0² = 4 + 16 = 20.
f(G) = 2·GA² - 1·GB² = 2·5 - 1·20 = 10 - 20 = -10.
Donc, f(M) = MG² - 10.Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M) = -6.
On a MG² - 10 = -6.
MG² = -6 + 10
MG² = 4
MG = 2
L'ensemble des points M est la sphère de centre G(2 ; -2 ; 0) et de rayon 2.
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