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La fonction scalaire de Leibniz est une fonction qui associe à tout point M de l'espace un nombre réel. Elle est définie pour un système de points fixes (A₁, A₂, ..., Aₙ) et des coefficients réels associés (α₁, α₂, ..., αₙ). La fonction est donnée par la somme pondérée des carrés des distances de M à chaque point Aᵢ : f(M) = α₁MA₁² + α₂MA₂² + ... + αₙMAₙ² Si la somme des coefficients Σ αᵢ = α₁ + α₂ + ... + αₙ est non nulle, et si G est le barycentre du système (Aᵢ, αᵢ), alors la fonction de Leibniz peut être réécrite sous une forme très utile : f(M) = (Σ αᵢ) MG² + Σ αᵢGAᵢ² Où Σ αᵢGAᵢ² est une constante (f(G)). Cette forme montre que si Σ αᵢ > 0, la fonction f(M) est minimale lorsque MG² est minimal, c'est-à-dire lorsque M est confondu avec le barycentre G. --- Exemple d'application (Niveau Bac C) Soient deux points distincts A et B tels que AB = 3. On considère la fonction f(M) = MA² + 2MB². 1. Déterminer le point G pour lequel f(M) est minimale. 2. Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M) = 12. Solution : Étape 1: Déterminer le barycentre G. La fonction est f(M) = 1·MA² + 2·MB². La somme des coefficients est Σ αᵢ = 1 + 2 = 3. Puisque Σ αᵢ ≠ 0 et Σ αᵢ > 0, la fonction f(M) est minimale lorsque M est le barycentre G du système (A, 1) et (B, 2). La définition du barycentre G est donnée par la relation vectorielle : 1·GA + 2·GB = 0 (vecteur nul) GA + 2(GA + AB) = 0 GA + 2GA + 2AB = 0 3GA + 2AB = 0 3GA = -2AB GA = (-2/3)AB D'où, AG = (2/3)AB. Le point G est le point situé sur le segment [AB] tel que AG = (2/3)AB. Étape 2: Réécrire f(M) en utilisant G. On utilise la formule f(M) = (Σ αᵢ) MG² + Σ αᵢGAᵢ². Ici, Σ αᵢ = 3. f(M) = 3MG² + (1·GA² + 2·GB²) Calculons la constante (1·GA² + 2·GB²). On a AG = (2/3)AB, donc GA = (2/3)AB. Et GB = GA + AB = (-2/3)AB + AB = (1/3)AB. Donc, GA² = ((2/3)AB)² = (4/9)AB². Et GB² = ((1/3)AB)² = (1/9)AB². La constante est 1·(4/9)AB² + 2·(1/9)AB² = (4/9)AB² + (2/9)AB² = (6/9)AB² = (2/3)AB². Ainsi, la fonction s'écrit : f(M) = 3MG² + (2/3)AB² Étape 3: Minimisation de f(M). Puisque 3 > 0, f(M) est minimale lorsque MG² est minimal, ce qui se produit quand MG = 0, c'est-à-dire quand M = G. La valeur minimale de f(M) est f(G) = (2/3)AB². Avec AB = 3, f(G) = (2/3)·3² = (2/3)·9 = 6. Le point M pour lequel f(M) est minimale est le barycentre G, et la valeur minimale est 6. Étape 4: Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M) = 12. On utilise l'expression simplifiée de f(M) : f(M) = 3MG² + (2/3)AB² On nous donne f(M) = 12 et AB = 3. 12 = 3MG² + (2/3)·3² 12 = 3MG² + 6 3MG² = 12 - 6 3MG² = 6 MG² = 2 MG = √2 L'ensemble des points M est le cercle de centre G et de rayon √2. Envoie-moi la prochaine 📸