C'est quelle formule vous avez pris pour factoriser le dénominateur

La formule utilisée pour factoriser le dénominateur repose sur deux propriétés des racines carrées :

1. La propriété de la racine d'un produit : Pour $a \ge 0$ et $b \ge 0$, on a $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$.
2. La propriété de la racine d'un carré : $\sqrt{x^2} = |x|$.

Dans notre cas, pour le terme $\sqrt{x^2 + 3x}$ :

• Nous avons d'abord factorisé $x^2$ à l'intérieur de la racine : $$\sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{x^2 \left( 1 + \frac{3}{x} \right)}$$
• Ensuite, nous avons appliqué la propriété $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ : $$= \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{1 + \frac{3}{x}}$$
• Puis, nous avons utilisé la propriété $\sqrt{x^2} = |x|$. Comme $x \to +\infty$, $x$ est positif, donc $|x| = x$. $$= x\sqrt{1 + \frac{3}{x}}$$

C'est la combinaison de ces propriétés qui a permis la factorisation.