Step 1: Identifier la formule du terme général dans le développement binomial. Le développement de $(a+b)^n$ a pour terme général $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$. Dans ce problème, nous avons $(Y^2X^2 + X^4)^{45}$. Donc, $a = Y^2X^2$, $b = X^4$, et $n = 45$. Step 2: Écrire le terme général pour l'expression donnée. En substituant les valeurs dans la formule du terme général: $$T_{k+1} = C_{45}^k (Y^2X^2)^{45-k} (X^4)^k$$ Step 3: Simplifier le terme général pour trouver la puissance de $X$. $$T_{k+1} = C_{45}^k (Y^2)^{45-k} (X^2)^{45-k} (X^4)^k$$ $$T_{k+1} = C_{45}^k Y^{2(45-k)} X^{2(45-k)} X^{4k}$$ $$T_{k+1} = C_{45}^k Y^{90-2k} X^{90-2k+4k}$$ $$T_{k+1} = C_{45}^k Y^{90-2k} X^{90+2k}$$ Step 4: Égaliser la puissance de $X$ à $100$ pour trouver la valeur de $k$. Nous cherchons les termes en $X^{100}$, donc nous posons l'exposant de $X$ égal à $100$: $$90+2k = 100$$ $$2k = 100 - 90$$ $$2k = 10$$ $$k = 5$$ Puisque $k=5$ est un entier et $0 \le 5 \le 45$, cette valeur est valide. Step 5: Substituer la valeur de $k$ dans le terme général pour trouver le terme spécifique. Le terme est $T_{5+1} = T_6$. $$T_6 = C_{45}^5 Y^{90-2(5)} X^{90+2(5)}$$ $$T_6 = C_{45}^5 Y^{90-10} X^{90+10}$$ $$T_6 = C_{45}^5 Y^{80} X^{100}$$ Step 6: Calculer le coefficient binomial $C_{45}^5$. $$C_{45}^5 = \frac{45!}{5!(45-5)!} = \frac{45!}{5!40!}$$ $$C_{45}^5 = \frac{45 \times 44 \times 43 \times 42 \times 41}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$$ $$C_{45}^5 = \frac{45}{5 \times 3} \times \frac{44}{4} \times \frac{42}{2} \times 43 \times 41$$ $$C_{45}^5 = 3 \times 11 \times 21 \times 43 \times 41$$ $$C_{45}^5 = 1221759$$ Le terme en $X^{100}$ est donc: $$\boxed{1221759 Y^{80} X^{100}}$$