Identifier la formule du terme général dans le développement binomial.

Question

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

Step 1: Identifier la formule du terme général dans le développement binomial. Le développement de (a+b)ⁿ a pour terme général Tk+1 = C_n^k a^(n−k) b^k. Dans ce problème, nous avons (Y²X² + X⁴)⁴⁵. Donc, a = Y²X², b = X⁴, et n = 45. Step 2: Écrire le terme général pour l'expression donnée. En substituant les valeurs dans la formule du terme général: Tk+1 = C₄₅^k (Y²X²)^(45−k) (X⁴)^k Step 3: Simplifier le terme général pour trouver la puissance de X. Tk+1 = C₄₅^k (Y²)^(45−k) (X²)^(45−k) (X⁴)^k; Tk+1 = C₄₅^k Y^(2(45−k)) X^(2(45−k)) X^(4k); Tk+1 = C₄₅^k Y^(90−2k) X^(90−2k+4k); Tk+1 = C₄₅^k Y^(90−2k) X^(90+2k) Step 4: Égaliser la puissance de X à 100 pour trouver la valeur de k. Nous cherchons les termes en X¹⁰⁰, donc nous posons l'exposant de X égal à 100: 90+2k = 100; 2k = 100 − 90; 2k = 10; k = 5; Puisque k=5 est un entier et 0 ≤ 5 ≤ 45, cette valeur est valide. Step 5: Substituer la valeur de k dans le terme général pour trouver le terme spécifique. Le terme est T₅₊₁ = T₆. T₆ = C₄₅^5 Y⁹⁰⁻²⁽⁵⁾ X⁹⁰⁺²⁽⁵⁾; T₆ = C₄₅^5 Y⁹⁰⁻¹⁰ X⁹⁰⁺¹⁰; T₆ = C₄₅^5 Y⁸⁰ X¹⁰⁰ Step 6: Calculer le coefficient binomial C₄₅^5. C₄₅^5 = (45!)/(5!(45−5)!) = (45!)/(5!40!); C₄₅^5 = (45 × 44 × 43 × 42 × 41)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1); C₄₅^5 = (45)/(5 × 3) × 44/4 × 42/2 × 43 × 41; C₄₅^5 = 3 × 11 × 21 × 43 × 41; C₄₅^5 = 1221759 Le terme en X¹⁰⁰ est donc: 1221759 Y⁸⁰ X¹⁰⁰

Identifier la formule du terme général dans le développement binomial.

Answer

Step-by-step solution