Identifier la formule du terme général dans le développement binomial.

Step 1: Identifier la formule du terme général dans le développement binomial. Le développement de (a+b)^n a pour terme général T_k+1 = C_n^k a^n-k b^k. Dans ce problème, nous avons (Y^2X^2 + X^4)^45. Donc, a = Y^2X^2, b = X^4, et n = 45. Step 2: Écrire le terme général pour l'expression donnée. En substituant les valeurs dans la formule du terme général: T_k+1 = C_45^k (Y^2X^2)^45-k (X^4)^k Step 3: Simplifier le terme général pour trouver la puissance de X. T_k+1 = C_45^k (Y^2)^45-k (X^2)^45-k (X^4)^k T_k+1 = C_45^k Y^2(45-k) X^2(45-k) X^4k T_k+1 = C_45^k Y^90-2k X^90-2k+4k T_k+1 = C_45^k Y^90-2k X^90+2k Step 4: Égaliser la puissance de X à 100 pour trouver la valeur de k. Nous cherchons les termes en X^100, donc nous posons l'exposant de X égal à 100: 90+2k = 100 2k = 100 - 90 2k = 10 k = 5 Puisque k=5 est un entier et 0 5 45, cette valeur est valide. Step 5: Substituer la valeur de k dans le terme général pour trouver le terme spécifique. Le terme est T_5+1 = T_6. T_6 = C_45^5 Y^90-2(5) X^90+2(5) T_6 = C_45^5 Y^90-10 X^90+10 T_6 = C_45^5 Y^80 X^100 Step 6: Calculer le coefficient binomial C_45^5. C_45^5 = (45!)/(5!(45-5)!) = (45!)/(5!40!) C_45^5 = (45 × 44 × 43 × 42 × 41)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1) C_45^5 = (45)/(5 × 3) × (44)/(4) × (42)/(2) × 43 × 41 C_45^5 = 3 × 11 × 21 × 43 × 41 C_45^5 = 1221759 Le terme en X^100 est donc: 1221759 Y^80 X^100