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Compare 4sqrt(7) and 11, deduce that 4sqrt(7)-11 is negative, and write |4sqrt(7)-11| without the absolute value.

Mathematics

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12 steps

Voici la résolution de l'Exercice 3 :

EXERCICE 3 (3,5 points)

1) a) Compare 474\sqrt{7} et 11.

  1. Pour comparer 474\sqrt{7} et 11, nous allons élever les deux nombres au carré, car ils sont tous deux positifs.

    (47)2=42×(7)2=16×7=112(4\sqrt{7})^2 = 4^2 \times (\sqrt{7})^2 = 16 \times 7 = 112 112=12111^2 = 121

  2. Comparez les carrés obtenus.

    Puisque 112<121112 < 121, on a (47)2<112(4\sqrt{7})^2 < 11^2.

  3. Déduisez la comparaison des nombres originaux.

    Comme 474\sqrt{7} et 11 sont positifs, on peut conclure que :

    47<11\boxed{4\sqrt{7} < 11}

    1) b) Déduis-en que 47−114\sqrt{7}-11 est un nombre négatif.

  4. Utilisez le résultat de la question 1) a).

    Nous avons établi que 47<114\sqrt{7} < 11.

  5. Soustrayez 11 des deux côtés de l'inégalité.

    47−11<11−114\sqrt{7} - 11 < 11 - 11 47−11<04\sqrt{7} - 11 < 0

  6. Concluez sur le signe de l'expression.

    Puisque 47−114\sqrt{7} - 11 est strictement inférieur à 0, c'est un nombre négatif.

    2) Écris ∣47−11∣|4\sqrt{7}-11| sans le symbole de valeur absolue.

  7. Déterminez le signe de l'expression à l'intérieur de la valeur absolue.

    D'après la question 1) b), nous savons que 47−114\sqrt{7}-11 est un nombre négatif.

  8. Appliquez la définition de la valeur absolue.

    Si un nombre xx est négatif, alors ∣x∣=−x|x| = -x.

    ∣47−11∣=−(47−11)|4\sqrt{7}-11| = -(4\sqrt{7}-11)

  9. Simplifiez l'expression.

    −(47−11)=−47+11-(4\sqrt{7}-11) = -4\sqrt{7} + 11 11−47\boxed{11 - 4\sqrt{7}}

    3) On donne 2,64<7<2,652,64 < \sqrt{7} < 2,65. Détermine un encadrement de 47−114\sqrt{7}-11 par deux nombres décimaux consécutifs d'ordre 1.

  10. Multipliez l'inégalité donnée par 4.

    2,64<7<2,652,64 < \sqrt{7} < 2,65 4×2,64<47<4×2,654 \times 2,64 < 4\sqrt{7} < 4 \times 2,65 10,56<47<10,6010,56 < 4\sqrt{7} < 10,60

  11. Soustrayez 11 de toutes les parties de l'inégalité.

    10,56−11<47−11<10,60−1110,56 - 11 < 4\sqrt{7} - 11 < 10,60 - 11 −0,44<47−11<−0,40-0,44 < 4\sqrt{7} - 11 < -0,40

  12. Déterminez l'encadrement par deux nombres décimaux consécutifs d'ordre 1.

    Les nombres décimaux d'ordre 1 sont de la forme X,YX,Y.
    L'intervalle (−0,44;−0,40)(-0,44 ; -0,40) est contenu entre −0,5-0,5 et −0,4-0,4.
    Le nombre décimal d'ordre 1 immédiatement inférieur à −0,44-0,44 est −0,5-0,5.
    Le nombre décimal d'ordre 1 immédiatement supérieur à −0,40-0,40 est −0,4-0,4.
    Donc, l'encadrement est :

    −0,5<47−11<−0,4\boxed{-0,5 < 4\sqrt{7}-11 < -0,4}
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