Compléter en utilisant les connecteurs "ou" et "et" pour que les équivalences suivantes soient vraies :

Voici les solutions pour les exercices 04 et 05.

EXERCICE 04

1. $(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2) \quad x \cdot y = 0 \Leftrightarrow (x = 0 \text{ ou } y = 0)$
2. $(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2) \quad x \cdot y \neq 0 \Leftrightarrow (x \neq 0 \text{ et } y \neq 0)$
3. $(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2) \quad x^2 + y^2 = 0 \Leftrightarrow (x = 0 \text{ et } y = 0)$
4. $(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2) \quad x^2 \ge r \Leftrightarrow (x \le -\sqrt{r} \text{ ou } x \ge \sqrt{r})$
5. $(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2) \quad (x;y) \neq (0;0) \Leftrightarrow (x \neq 0 \text{ ou } y \neq 0)$

EXERCICE 05

1. Pour la proposition $P_1 : (\forall (a;b) \in \mathbb{R}^2) \quad (a^2 + b^2 \ge ab \text{ ou } |a| + |b| \ge |a+b|)$ La négation est :

   $$\boxed{\neg P_1 : (\exists (a;b) \in \mathbb{R}^2) \quad (a^2 + b^2 < ab \text{ et } |a| + |b| < |a+b|)}$$

2. Pour la proposition $P_2 : (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})(\exists r \in \mathbb{Q}); \quad x < r < y$ La négation est :

   $$\boxed{\neg P_2 : (\exists x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R})(\forall r \in \mathbb{Q}); \quad (x \ge r \text{ ou } r \ge y)}$$

3. Pour la proposition $P_3 : (\forall x \in \mathbb{R}) \quad \left(x > 0 \Rightarrow x + \frac{1}{x} \ge 2\right)$ La négation est :

   $$\boxed{\neg P_3 : (\exists x \in \mathbb{R}) \quad \left(x > 0 \text{ et } x + \frac{1}{x} < 2\right)}$$

4. Pour la proposition $P_4 : (\exists (x;y;z) \in \mathbb{R}^3); \quad \frac{x-1}{2} = y+2 = \frac{z-2}{3}$ La négation est :

   $$\boxed{\neg P_4 : (\forall (x;y;z) \in \mathbb{R}^3); \quad \left(\frac{x-1}{2} \neq y+2 \text{ ou } y+2 \neq \frac{z-2}{3}\right)}$$