Consider the function f(x) = ((x+1)2)/2x − 3. Find f(1), f(−1), f(2). Find the solution of the equation f(x)…

Question

Consider the function f(x) = ((x+1)2)/2x − 3. Find f(1), f(−1), f(2). Find the solution of the equation f(x) = 1.

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Voici les domaines de définition pour chaque fonction : a) Pour trouver le domaine de définition d'une fonction, nous devons identifier les valeurs de x pour lesquelles la fonction est définie. Partie (i): f(x) = (2x+1)/(x²+x−2) Step 1: La fonction est une fraction rationnelle. Le dénominateur ne peut pas être nul. x²+x−2 = 0 Step 2: Factorisons le dénominateur. (x+2)(x−1) = 0; D'où x = −2 ou x = 1. Step 3: Les valeurs qui annulent le dénominateur sont x = −2 et x = 1. Ces valeurs sont exclues du domaine. Le domaine de f(x) est R −2, 1. D_f = ]−∞ ; −2[ ∪ ]−2 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[; Partie (ii): g(x) = (√(x))/(x²+1) Step 1: Pour que √(x) soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative. x ≥ 0 Step 2: Le dénominateur x²+1 est toujours positif (x² ≥ 0 ⇒ x²+1 ≥ 1), donc il n'est jamais nul. Step 3: La seule condition est x ≥ 0. Le domaine de g(x) est [0 ; +∞[. D_g = [0 ; +∞[; Partie (iii): h(x) = √(x+2) Step 1: Pour que √(x+2) soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative. x+2 ≥ 0 Step 2: Résolvons l'inéquation pour x. x ≥ −2 Le domaine de h(x) est [−2 ; +∞[. D_h = [−2 ; +∞[; Partie (iv): t(x) = (1)/(1−e^(x²)) Step 1: Le dénominateur ne peut pas être nul. 1−e^(x²) = 0 Step 2: Résolvons l'équation pour x. e^(x²) = 1; x² = ln(1); x² = 0; x = 0; Step 3: La valeur qui annule le dénominateur est x = 0. Cette valeur est exclue du domaine. Le domaine de t(x) est R 0. D_t = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[; Partie (v): u(x) = √(1−2x) Step 1: Pour que √(1−2x) soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative. 1−2x ≥ 0 Step 2: Résolvons l'inéquation pour x. 1 ≥ 2x 1/2 ≥ x x ≤ 1/2 Le domaine de u(x) est ]−∞ ; 1/2]. D_u = ]−∞ ; 1/2]; Partie (vi): q(x) = √(4−x²) Step 1: Pour que √(4−x²) soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative. 4−x² ≥ 0 Step 2: Résolvons l'inéquation pour x. 4 ≥ x² x² ≤ 4 Ceci implique que −2 ≤ x ≤ 2. Le domaine de q(x) est [−2 ; 2]. D_q = [−2 ; 2]; Partie (vii): v(x) = ln(2x+3) Step 1: Pour que ln(2x+3) soit définie, l'argument du logarithme doit être strictement positif. 2x+3 > 0 Step 2: Résolvons l'inéquation pour x. 2x > −3 x > −3/2 Le domaine de v(x) est ]−3/2 ; +∞[. D_v = ]−3/2 ; +∞[; Partie (viii): p(x) = (1)/(x²−x) Step 1: La fonction est une fraction rationnelle. Le dénominateur ne peut pas être nul. x²−x = 0 Step 2: Factorisons le dénominateur. x(x−1) = 0; D'où x = 0 ou x = 1. Step 3: Les valeurs qui annulent le dénominateur sont x = 0 et x = 1. Ces valeurs sont exclues du domaine. Le domaine de p(x) est R 0, 1. D_p = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[

Point	x	y
Maximum	−1	−3
Minimum	−0.33	−3.07
y-intercept	0	−3
x-intercept	1.22	0

Consider the function f(x) = ((x+1)2)/2x - 3. Find f(1), f(-1), f(2). Find the solution of the equation f(x) = 1.

Answers

Step-by-step solution

Part a(i)· 3 steps

La fonction est une fraction rationnelle.

Factorisons le dénominateur.

Les valeurs qui annulent le dénominateur sont $x = -2$ et $x = 1$ .

Part a(ii)· 3 steps
$D_g = [0 ; +\infty[$

Pour que $\sqrt{x}$ soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative.

Le dénominateur $x^2+1$ est toujours positif ( $x^2 \ge 0 \implies x^2+1 \ge 1$ ), donc il n'est jamais nul.

La seule condition est $x \ge 0$ .

Part a(iii)· 2 steps
$D_h = [-2 ; +\infty[$

Pour que $\sqrt{x+2}$ soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative.

Résolvons l'inéquation pour $x$ .

Part a(iv)· 3 steps
$D_t = ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$

Le dénominateur ne peut pas être nul.

Résolvons l'équation pour $x$ .

La valeur qui annule le dénominateur est $x = 0$ .

Part a(v)· 2 steps
$D_u = ]-\infty ; \frac{1}{2}]$

Pour que $\sqrt{1-2x}$ soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative.

Résolvons l'inéquation pour $x$ .

Part a(vi)· 2 steps
$D_q = [-2 ; 2]$

Pour que $\sqrt{4-x^2}$ soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative.

Résolvons l'inéquation pour $x$ .

Part a(vii)· 2 steps
$D_v = ]-\frac{3}{2} ; +\infty[$

Pour que $\ln(2x+3)$ soit définie, l'argument du logarithme doit être strictement positif.

Résolvons l'inéquation pour $x$ .

Part a(viii)· 3 steps
$D_p = ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[$

La fonction est une fraction rationnelle.

Factorisons le dénominateur.

Les valeurs qui annulent le dénominateur sont $x = 0$ et $x = 1$ .

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Consider the function f(x) = ((x+1)2)/2x - 3. Find f(1), f(-1), f(2). Find the solution of the equation f(x) = 1.

Answers

Step-by-step solution

Part a(i)· 3 steps

La fonction est une fraction rationnelle.

Factorisons le dénominateur.

Les valeurs qui annulent le dénominateur sont x=−2x = -2x=−2 et x=1x = 1x=1.

Part a(ii)· 3 stepsDg=[0;+∞[D_g = [0 ; +\infty[Dg​=[0;+∞[

Pour que x\sqrt{x}x​ soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative.

Le dénominateur x2+1x^2+1x2+1 est toujours positif (x2≥0 ⟹ x2+1≥1x^2 \ge 0 \implies x^2+1 \ge 1x2≥0⟹x2+1≥1), donc il n'est jamais nul.

La seule condition est x≥0x \ge 0x≥0.

Part a(iii)· 2 stepsDh=[−2;+∞[D_h = [-2 ; +\infty[Dh​=[−2;+∞[

Pour que x+2\sqrt{x+2}x+2​ soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative.

Résolvons l'inéquation pour xxx.

Part a(iv)· 3 stepsDt=]−∞;0[∪]0;+∞[D_t = ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[Dt​=]−∞;0[∪]0;+∞[

Le dénominateur ne peut pas être nul.

Résolvons l'équation pour xxx.

La valeur qui annule le dénominateur est x=0x = 0x=0.

Part a(v)· 2 stepsDu=]−∞;12]D_u = ]-\infty ; \frac{1}{2}]Du​=]−∞;21​]

Pour que 1−2x\sqrt{1-2x}1−2x​ soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative.

Résolvons l'inéquation pour xxx.

Part a(vi)· 2 stepsDq=[−2;2]D_q = [-2 ; 2]Dq​=[−2;2]

Pour que 4−x2\sqrt{4-x^2}4−x2​ soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative.

Résolvons l'inéquation pour xxx.

Part a(vii)· 2 stepsDv=]−32;+∞[D_v = ]-\frac{3}{2} ; +\infty[Dv​=]−23​;+∞[

Pour que ln⁡(2x+3)\ln(2x+3)ln(2x+3) soit définie, l'argument du logarithme doit être strictement positif.

Résolvons l'inéquation pour xxx.

Part a(viii)· 3 stepsDp=]−∞;0[∪]0;1[∪]1;+∞[D_p = ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[Dp​=]−∞;0[∪]0;1[∪]1;+∞[

La fonction est une fraction rationnelle.

Factorisons le dénominateur.

Les valeurs qui annulent le dénominateur sont x=0x = 0x=0 et x=1x = 1x=1.

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Les valeurs qui annulent le dénominateur sont $x = -2$ et $x = 1$ .

Part a(ii)· 3 steps
$D_g = [0 ; +\infty[$

Pour que $\sqrt{x}$ soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative.

Le dénominateur $x^2+1$ est toujours positif ( $x^2 \ge 0 \implies x^2+1 \ge 1$ ), donc il n'est jamais nul.

La seule condition est $x \ge 0$ .

Part a(iii)· 2 steps
$D_h = [-2 ; +\infty[$

Pour que $\sqrt{x+2}$ soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative.

Résolvons l'inéquation pour $x$ .

Part a(iv)· 3 steps
$D_t = ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$

Résolvons l'équation pour $x$ .

La valeur qui annule le dénominateur est $x = 0$ .

Part a(v)· 2 steps
$D_u = ]-\infty ; \frac{1}{2}]$

Pour que $\sqrt{1-2x}$ soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative.

Résolvons l'inéquation pour $x$ .

Part a(vi)· 2 steps
$D_q = [-2 ; 2]$

Pour que $\sqrt{4-x^2}$ soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative.

Résolvons l'inéquation pour $x$ .

Part a(vii)· 2 steps
$D_v = ]-\frac{3}{2} ; +\infty[$

Pour que $\ln(2x+3)$ soit définie, l'argument du logarithme doit être strictement positif.

Résolvons l'inéquation pour $x$ .

Part a(viii)· 3 steps
$D_p = ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[$

Les valeurs qui annulent le dénominateur sont $x = 0$ et $x = 1$ .