Corrigé étape par étape le sujet aux niveaux terminale A2 à Madagascar. Faire le chema et formule à chaque réponse question. En fin montre le chema de courbe(C) et tangente(T)

Question

Asked on July 17, 2026Mathematics

This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.

Accepted Answer · 2026-07-17T20:09:46.537Z

Okay garaman712, voici la solution détaillée pour l'Exercice 2. EXERCICE 2 Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x^3 - 3x + 2. On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; i, j). 1. Calculer f'(x) et étudier son signe. Step 1: Calculer la dérivée première f'(x). La fonction f(x) est un polynôme, donc sa dérivée est calculée terme par terme. f'(x) = (d)/(dx)(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 Step 2: Étudier le signe de f'(x). Pour étudier le signe de f'(x), nous cherchons ses racines en résolvant f'(x) = 0. 3x^2 - 3 = 0 3(x^2 - 1) = 0 x^2 - 1 = 0 (x-1)(x+1) = 0 Les racines sont x = 1 et x = -1. f'(x) est un polynôme du second degré avec un coefficient dominant positif (3 > 0). Il est donc positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. • Pour x ]-; -1[ ]1; +[, f'(x) > 0. • Pour x ]-1; 1[, f'(x) < 0. • Pour x = -1 ou x = 1, f'(x) = 0. La dérivée est f'(x) = 3x^2 - 3. Son signe est f'(x) > 0 sur ]-; -1[ ]1; +[ et f'(x) < 0 sur ]-1; 1[. 2. Dresser le tableau de variation de f. Step 1: Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition. Puisque f(x) est un polynôme, les limites à l'infini sont déterminées par le terme de plus haut degré. _x - f(x) = _x - x^3 = - _x + f(x) = _x + x^3 = + Step 2: Calculer les valeurs de f(x) aux points où f'(x) = 0. Pour x = -1: f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 Pour x = 1: f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 Step 3: Dresser le tableau de variation en utilisant le signe de f'(x) et les valeurs calculées. | x | - | -1 | 1 | + | | :---------- | :-------: | :------------: | :-------------: | :-------: | | f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | | Variation de f | | 4 (Max local) | | 0 (Min local) | | | f(x) | - | | | | + | 3. Montrer que le point I(0; 2) est un point d'inflexion de (C). Step 1: Calculer la dérivée seconde f''(x). f''(x) = (d)/(dx)(3x^2 - 3) = 6x Step 2: Chercher les racines de f''(x) = 0. 6x = 0 x = 0 Step 3: Étudier le signe de f''(x) autour de x=0. • Pour x < 0, f''(x) = 6x < 0. • Pour x > 0, f''(x) = 6x > 0. Puisque f''(x) change de signe en x=0, le point d'abscisse x=0 est un point d'inflexion. Step 4: Calculer l'ordonnée du point d'inflexion. f(0) = (0)^3 - 3(0) + 2 = 2 Le point d'inflexion est donc I(0; 2). Puisque f''(0) = 0 et f''(x) change de signe en x=0, le point I(0; 2) est un point d'inflexion de (C). 4. Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point I. Step 1: Utiliser la formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse a: y - f(a) = f'(a)(x - a). Ici, le point d'inflexion est I(0; 2), donc a=0, f(a)=f(0)=2. Step 2: Calculer la valeur de la dérivée première en x=0. f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 Step 3: Substituer les valeurs dans la formule de la tangente. y - f(0) = f'(0)(x - 0) y - 2 = -3(x - 0) y - 2 = -3x y = -3x + 2 L'équation de la tangente (T) est y = -3x + 2. 5. Tracer la courbe (C) et la tangente (T). Pour tracer la courbe, nous utilisons les informations du tableau de variation et les points clés: • Maximum local: (-1; 4) • Minimum local: (1; 0) • Point d'inflexion: (0; 2) • La tangente (T) passe par (0; 2) et a une pente de -3. Pour un autre point, si x=1, y = -3(1)+2 = -1. Donc (1; -1) est sur la tangente. Voici le schéma de la courbe (C) et de la tangente (T): `mermaid graph TD A[Start] --> BPlot key points; B --> CPlot local maximum (-1, 4); B --> DPlot local minimum (1, 0); B --> EPlot inflection point (0, 2); E --> FDraw tangent (T) through (0, 2) with slope -3; F --> GSketch curve (C) using variation table; G --> HCurve increases to (-1, 4); H --> ICurve decreases through (0, 2) to (1, 0); I --> JCurve increases from (1, 0); J --> K[End]; style A fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style B fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style C fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style D fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style E fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style F fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style G fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style H fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style I fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style J fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style K fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px ` ` ^ y | 5 + | (-1,4) Max 4 + . | / \ 3 + / \ | / \ 2 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` The diagram above shows the general shape of the curve (C) and the tangent (T). • The curve (C) rises to the local maximum at (-1, 4). • It then falls, passing through the inflection point (0, 2), and continues to fall to the local minimum at (1, 0). • After (1, 0), the curve rises again. • The tangent line (T) passes through (0, 2) with a negative slope, indicating it goes downwards from left to right. Drop the next question.

Accepted Answer · 2026-07-17T20:09:46.537Z

Okay garaman712, voici la solution détaillée pour l'Exercice 2. EXERCICE 2 Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x^3 - 3x + 2. On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; i, j). 1. Calculer f'(x) et étudier son signe. Step 1: Calculer la dérivée première f'(x). La fonction f(x) est un polynôme, donc sa dérivée est calculée terme par terme. f'(x) = (d)/(dx)(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 Step 2: Étudier le signe de f'(x). Pour étudier le signe de f'(x), nous cherchons ses racines en résolvant f'(x) = 0. 3x^2 - 3 = 0 3(x^2 - 1) = 0 x^2 - 1 = 0 (x-1)(x+1) = 0 Les racines sont x = 1 et x = -1. f'(x) est un polynôme du second degré avec un coefficient dominant positif (3 > 0). Il est donc positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. • Pour x ]-; -1[ ]1; +[, f'(x) > 0. • Pour x ]-1; 1[, f'(x) < 0. • Pour x = -1 ou x = 1, f'(x) = 0. La dérivée est f'(x) = 3x^2 - 3. Son signe est f'(x) > 0 sur ]-; -1[ ]1; +[ et f'(x) < 0 sur ]-1; 1[. 2. Dresser le tableau de variation de f. Step 1: Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition. Puisque f(x) est un polynôme, les limites à l'infini sont déterminées par le terme de plus haut degré. _x - f(x) = _x - x^3 = - _x + f(x) = _x + x^3 = + Step 2: Calculer les valeurs de f(x) aux points où f'(x) = 0. Pour x = -1: f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 Pour x = 1: f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 Step 3: Dresser le tableau de variation en utilisant le signe de f'(x) et les valeurs calculées. | x | - | -1 | 1 | + | | :---------- | :-------: | :------------: | :-------------: | :-------: | | f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | | Variation de f | | 4 (Max local) | | 0 (Min local) | | | f(x) | - | | | | + | 3. Montrer que le point I(0; 2) est un point d'inflexion de (C). Step 1: Calculer la dérivée seconde f''(x). f''(x) = (d)/(dx)(3x^2 - 3) = 6x Step 2: Chercher les racines de f''(x) = 0. 6x = 0 x = 0 Step 3: Étudier le signe de f''(x) autour de x=0. • Pour x < 0, f''(x) = 6x < 0. • Pour x > 0, f''(x) = 6x > 0. Puisque f''(x) change de signe en x=0, le point d'abscisse x=0 est un point d'inflexion. Step 4: Calculer l'ordonnée du point d'inflexion. f(0) = (0)^3 - 3(0) + 2 = 2 Le point d'inflexion est donc I(0; 2). Puisque f''(0) = 0 et f''(x) change de signe en x=0, le point I(0; 2) est un point d'inflexion de (C). 4. Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point I. Step 1: Utiliser la formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse a: y - f(a) = f'(a)(x - a). Ici, le point d'inflexion est I(0; 2), donc a=0, f(a)=f(0)=2. Step 2: Calculer la valeur de la dérivée première en x=0. f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 Step 3: Substituer les valeurs dans la formule de la tangente. y - f(0) = f'(0)(x - 0) y - 2 = -3(x - 0) y - 2 = -3x y = -3x + 2 L'équation de la tangente (T) est y = -3x + 2. 5. Tracer la courbe (C) et la tangente (T). Pour tracer la courbe, nous utilisons les informations du tableau de variation et les points clés: • Maximum local: (-1; 4) • Minimum local: (1; 0) • Point d'inflexion: (0; 2) • La tangente (T) passe par (0; 2) et a une pente de -3. Pour un autre point, si x=1, y = -3(1)+2 = -1. Donc (1; -1) est sur la tangente. Voici le schéma de la courbe (C) et de la tangente (T): `mermaid graph TD A[Start] --> BPlot key points; B --> CPlot local maximum (-1, 4); B --> DPlot local minimum (1, 0); B --> EPlot inflection point (0, 2); E --> FDraw tangent (T) through (0, 2) with slope -3; F --> GSketch curve (C) using variation table; G --> HCurve increases to (-1, 4); H --> ICurve decreases through (0, 2) to (1, 0); I --> JCurve increases from (1, 0); J --> K[End]; style A fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style B fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style C fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style D fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style E fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style F fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style G fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style H fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style I fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style J fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px style K fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px ` ` ^ y | 5 + | (-1,4) Max 4 + . | / \ 3 + / \ | / \ 2 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Drop the next question.

Corrigé étape par étape le sujet aux niveaux terminale A2 à Madagascar. Faire le chema et formule à chaque réponse question. En fin montre le chema de courbe(C) et tangente(T)

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