This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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voici la solution pour l'Exercice 2. EXERCICE 2 Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher : 4 blanches (B) et 4 noires (N). 1) On tire au hasard et simultanément 3 boules de l'urne. Il s'agit de combinaisons, car l'ordre de tirage n'importe pas. Nombre total de boules N = 8. Nombre de boules blanches N_B = 4. Nombre de boules noires N_N = 4. Nombre de boules tirées k = 3. 1. a) Déterminer le nombre de tirages possibles. Step 1: Utiliser la formule des combinaisons Nk = (N!)/(k!(N-k)!). Le nombre de tirages possibles est le nombre de façons de choisir 3 boules parmi 8. 83 = (8!)/(3!(8-3)!) = (8!)/(3!5!) Step 2: Calculer la valeur. 83 = (8 × 7 × 6 × 5!)/(3 × 2 × 1 × 5!) = (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1) = 8 × 7 = 56 Le nombre de tirages possibles est 56. 1. b) Quelle est la probabilité d'obtenir 3 boules blanches ? Step 1: Calculer le nombre de façons d'obtenir 3 boules blanches. Il faut choisir 3 boules parmi les 4 boules blanches disponibles. 43 = (4!)/(3!(4-3)!) = (4!)/(3!1!) = 4 Step 2: Calculer la probabilité. La probabilité est le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre total de cas possibles. P(3 Blanches) = (4)/(3)83 = (4)/(56) Step 3: Simplifier la fraction. P(3 Blanches) = (4)/(56) = (1)/(14) La probabilité d'obtenir 3 boules blanches est (1)/(14). 1. c) Quelle est la probabilité d'obtenir 1 boule blanche et 2 boules noires ? Step 1: Calculer le nombre de façons d'obtenir 1 boule blanche et 2 boules noires. Choisir 1 boule blanche parmi 4: 41 = 4. Choisir 2 boules noires parmi 4: 42 = (4!)/(2!(4-2)!) = (4 × 3)/(2 × 1) = 6. Le nombre de cas favorables est le produit de ces deux nombres: 41 × 42 = 4 × 6 = 24 Step 2: Calculer la probabilité. P(1 Blanche et 2 Noires) = (24)/(56) Step 3: Simplifier la fraction. P(1 Blanche et 2 Noires) = (24)/(56) = (3)/(7) La probabilité d'obtenir 1 boule blanche et 2 boules noires est (3)/(7). 2) On effectue 3 tirages successifs d'une boule, en remettant dans l'urne, avant chaque tirage, la boule précédemment tirée. Il s'agit de tirages avec remise, l'ordre des tirages est important. Nombre total de boules N = 8. Nombre de boules blanches N_B = 4. Nombre de boules noires N_N = 4. Nombre de tirages k = 3. 2. a) Quel est le nombre de tirages possibles ? Step 1: Utiliser la formule pour les tirages avec remise où l'ordre compte. Pour chaque tirage, il y a 8 possibilités. Puisqu'il y a 3 tirages, le nombre total de tirages possibles est N^k. 8^3 = 8 × 8 × 8 Step 2: Calculer la valeur. 8^3 = 512 Le nombre de tirages possibles est 512. 2. b) Quelle est la probabilité de sortir ainsi 3 boules noires ? Step 1: Calculer la probabilité de tirer une boule noire lors d'un seul tirage. P(Noire) = (N_N)/(N) = (4)/(8) = (1)/(2) Step 2: Calculer la probabilité de tirer 3 boules noires successivement avec remise. Les tirages sont indépendants. P(3 Noires) = P(Noire) × P(Noire) × P(Noire) = ((1)/(2))^3 Step 3: Calculer la valeur. P(3 Noires) = (1)/(8) La probabilité de sortir 3 boules noires est (1)/(8). 2. c) Quelle est la probabilité de sortir ainsi 1 blanche puis 2 noires ? Step 1: Calculer la probabilité de tirer une boule blanche et une boule noire lors d'un seul tirage. P(Blanche) = (4)/(8) = (1)/(2) P(Noire) = (4)/(8) = (1)/(2) Step 2: Calculer la probabilité de la séquence (Blanche, Noire, Noire). Les tirages sont indépendants. P(1 Blanche puis 2 Noires) = P(Blanche) × P(Noire) × P(Noire) = (1)/(2) × (1)/(2) × (1)/(2) Step 3: Calculer la valeur. P(1 Blanche puis 2 Noires) = (1)/(8) La probabilité de sortir 1 blanche puis 2 noires est (1)/(8). 3) On tire toutes les boules une à une sans remise. Il s'agit de permutations d'objets non tous distincts (4 blanches, 4 noires). Nombre total de boules N = 8. Nombre de boules blanches N_B = 4. Nombre de boules noires N_N = 4. 3. a) Quel est le nombre de tirages possibles ? Step 1: Utiliser la formule des permutations avec répétition. Le nombre de tirages possibles est le nombre de séquences de couleurs distinctes que l'on peut former avec 4 boules blanches et 4 boules noires. (N!)/(N_B! N_N!) = (8!)/(4!4!) Step 2: Calculer la valeur. (8!)/(4!4!) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × (4 × 3 × 2 × 1)) = (8 × 7 × 6 × 5)/(24) = (1680)/(24) = 70 Le nombre de tirages possibles est 70. 3. b) Quelle est la probabilité pour que les couleurs de toutes les boules tirées soient alternées ? Step 1: Déterminer les séquences de couleurs alternées possibles. Puisqu'il y a 4 boules blanches et 4 boules noires, les seules séquences alternées possibles sont: • B N B N B N B N • N B N B N B N B Il y a 2 séquences favorables. Step 2: Calculer la probabilité. La probabilité est le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre total de cas possibles (calculé en 3.a). P(Couleurs alternées) = Nombre de séquences alternéesNombre total de tirages possibles = (2)/(70) Step 3: Simplifier la fraction. P(Couleurs alternées) = (2)/(70) = (1)/(35) La probabilité pour que les couleurs soient alternées est (1)/(35). Qu'est-ce qui vient après ?