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Exercice 2 : Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher dont 4 blanches et 4 noires. On tire au hasard et simultanément 3 boules de l'urne.

Mathematics

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voici la solution pour l'Exercice 2.

EXERCICE 2

Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher : 4 blanches (B) et 4 noires (N).

1) On tire au hasard et simultanément 3 boules de l'urne.
Il s'agit de combinaisons, car l'ordre de tirage n'importe pas.
Nombre total de boules N=8N = 8.
Nombre de boules blanches NB=4N_B = 4.
Nombre de boules noires NN=4N_N = 4.
Nombre de boules tirées k=3k = 3.

1. a) Déterminer le nombre de tirages possibles.

  1. Utiliser la formule des combinaisons (Nk)=N!k!(N−k)!\binom{N}{k} = \frac{N!}{k!(N-k)!}.

    Le nombre de tirages possibles est le nombre de façons de choisir 3 boules parmi 8.

    (83)=8!3!(8−3)!=8!3!5!\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}

  2. Calculer la valeur.

    (83)=8×7×6×5!3×2×1×5!=8×7×63×2×1=8×7=56\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56

    Le nombre de tirages possibles est 56\boxed{56}.

    1. b) Quelle est la probabilité d'obtenir 3 boules blanches ?

  3. Calculer le nombre de façons d'obtenir 3 boules blanches.

    Il faut choisir 3 boules parmi les 4 boules blanches disponibles.

    (43)=4!3!(4−3)!=4!3!1!=4\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4

  4. Calculer la probabilité.

    La probabilité est le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre total de cas possibles.

    P(3 Blanches)=(43)(83)=456P(\text{3 Blanches}) = \frac{\binom{4}{3}}{\binom{8}{3}} = \frac{4}{56}

  5. Simplifier la fraction.

    P(3 Blanches)=456=114P(\text{3 Blanches}) = \frac{4}{56} = \frac{1}{14}

    La probabilité d'obtenir 3 boules blanches est 114\boxed{\frac{1}{14}}.

    1. c) Quelle est la probabilité d'obtenir 1 boule blanche et 2 boules noires ?

  6. Calculer le nombre de façons d'obtenir 1 boule blanche et 2 boules noires.

    Choisir 1 boule blanche parmi 4: (41)=4\binom{4}{1} = 4.
    Choisir 2 boules noires parmi 4: (42)=4!2!(4−2)!=4×32×1=6\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6.
    Le nombre de cas favorables est le produit de ces deux nombres:

    (41)×(42)=4×6=24\binom{4}{1} \times \binom{4}{2} = 4 \times 6 = 24

  7. Calculer la probabilité.

    P(1 Blanche et 2 Noires)=2456P(\text{1 Blanche et 2 Noires}) = \frac{24}{56}

  8. Simplifier la fraction.

    P(1 Blanche et 2 Noires)=2456=37P(\text{1 Blanche et 2 Noires}) = \frac{24}{56} = \frac{3}{7}

    La probabilité d'obtenir 1 boule blanche et 2 boules noires est 37\boxed{\frac{3}{7}}.

    2) On effectue 3 tirages successifs d'une boule, en remettant dans l'urne, avant chaque tirage, la boule précédemment tirée.
    Il s'agit de tirages avec remise, l'ordre des tirages est important.
    Nombre total de boules N=8N = 8.
    Nombre de boules blanches NB=4N_B = 4.
    Nombre de boules noires NN=4N_N = 4.
    Nombre de tirages k=3k = 3.

    2. a) Quel est le nombre de tirages possibles ?

  9. Utiliser la formule pour les tirages avec remise où l'ordre compte.

    Pour chaque tirage, il y a 8 possibilités. Puisqu'il y a 3 tirages, le nombre total de tirages possibles est NkN^k.

    83=8×8×88^3 = 8 \times 8 \times 8

  10. Calculer la valeur.

    83=5128^3 = 512

    Le nombre de tirages possibles est 512\boxed{512}.

    2. b) Quelle est la probabilité de sortir ainsi 3 boules noires ?

  11. Calculer la probabilité de tirer une boule noire lors d'un seul tirage.

    P(Noire)=NNN=48=12P(\text{Noire}) = \frac{N_N}{N} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

  12. Calculer la probabilité de tirer 3 boules noires successivement avec remise.

    Les tirages sont indépendants.

    P(3 Noires)=P(Noire)×P(Noire)×P(Noire)=(12)3P(\text{3 Noires}) = P(\text{Noire}) \times P(\text{Noire}) \times P(\text{Noire}) = \left(\frac{1}{2}\right)^3

  13. Calculer la valeur.

    P(3 Noires)=18P(\text{3 Noires}) = \frac{1}{8}

    La probabilité de sortir 3 boules noires est 18\boxed{\frac{1}{8}}.

    2. c) Quelle est la probabilité de sortir ainsi 1 blanche puis 2 noires ?

  14. Calculer la probabilité de tirer une boule blanche et une boule noire lors d'un seul tirage.

    P(Blanche)=48=12P(\text{Blanche}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} P(Noire)=48=12P(\text{Noire}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

  15. Calculer la probabilité de la séquence (Blanche, Noire, Noire).

    Les tirages sont indépendants.

    P(1 Blanche puis 2 Noires)=P(Blanche)×P(Noire)×P(Noire)=12×12×12P(\text{1 Blanche puis 2 Noires}) = P(\text{Blanche}) \times P(\text{Noire}) \times P(\text{Noire}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}

  16. Calculer la valeur.

    P(1 Blanche puis 2 Noires)=18P(\text{1 Blanche puis 2 Noires}) = \frac{1}{8}

    La probabilité de sortir 1 blanche puis 2 noires est 18\boxed{\frac{1}{8}}.

    3) On tire toutes les boules une à une sans remise.
    Il s'agit de permutations d'objets non tous distincts (4 blanches, 4 noires).
    Nombre total de boules N=8N = 8.
    Nombre de boules blanches NB=4N_B = 4.
    Nombre de boules noires NN=4N_N = 4.

    3. a) Quel est le nombre de tirages possibles ?

  17. Utiliser la formule des permutations avec répétition.

    Le nombre de tirages possibles est le nombre de séquences de couleurs distinctes que l'on peut former avec 4 boules blanches et 4 boules noires.

    N!NB!NN!=8!4!4!\frac{N!}{N_B! N_N!} = \frac{8!}{4!4!}

  18. Calculer la valeur.

    8!4!4!=8×7×6×5×4!4!×(4×3×2×1)=8×7×6×524=168024=70\frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{24} = \frac{1680}{24} = 70

    Le nombre de tirages possibles est 70\boxed{70}.

    3. b) Quelle est la probabilité pour que les couleurs de toutes les boules tirées soient alternées ?

  19. Déterminer les séquences de couleurs alternées possibles.

    Puisqu'il y a 4 boules blanches et 4 boules noires, les seules séquences alternées possibles sont:

    • B N B N B N B N
    • N B N B N B N B Il y a 2 séquences favorables.

  20. Calculer la probabilité.

    La probabilité est le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre total de cas possibles (calculé en 3.a).

    P(Couleurs alterneˊes)=Nombre de seˊquences alterneˊesNombre total de tirages possibles=270P(\text{Couleurs alternées}) = \frac{\text{Nombre de séquences alternées}}{\text{Nombre total de tirages possibles}} = \frac{2}{70}

  21. Simplifier la fraction.

    P(Couleurs alterneˊes)=270=135P(\text{Couleurs alternées}) = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}

    La probabilité pour que les couleurs soient alternées est 135\boxed{\frac{1}{35}}.

    Qu'est-ce qui vient après ?

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