Écris, le numéro de chacun des énoncés ci-dessous suivis de VRAI si l'énoncé est vrai ou de FAUX si l'énoncé est faux.

Voici la résolution détaillée des exercices de mathématiques.

Exercice 1 (2 points)

1. VRAI Soit $f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)^r} = u'(x) \cdot u(x)^{-r}$. C'est une fonction de la forme $u' \cdot u^n$ avec $n = -r$. Une primitive de $u' \cdot u^n$ est $\frac{u^{n+1}}{n+1}$. Donc, une primitive de $f(x)$ est $\frac{u(x)^{-r+1}}{-r+1} = \frac{u(x)^{1-r}}{1-r}$. L'énoncé est correct.

2. FAUX Pour tout nombre réel $a$ strictement positif, on a : $\ln(\sqrt{a^3}) = \ln(a^{3/2})$ En utilisant la propriété des logarithmes $\ln(x^k) = k \ln x$, on obtient : $\ln(a^{3/2}) = \frac{3}{2} \ln a$ L'énoncé affirme que c'est égal à $3 \ln a$, ce qui est faux pour $a \neq 1$.

3. FAUX La fonction de répartition $F(x)$ d'une variable aléatoire $X$ est définie par $F(x) = P(X \le x)$. L'énoncé propose $F(x) = P(X \ge x)$, ce qui n'est pas la définition standard de la fonction de répartition.

4. FAUX Pour tout $p \in \mathbb{Z}^*$, $q \in \mathbb{N}^*$ et $t \in ]0 ; +\infty[$, on a : $t^p \times (t^q)^{-1} = t^p \times t^{-q} = t^{p-q}$ L'énoncé affirme que c'est égal à $(t^p)^q = t^{pq}$. En général, $t^{p-q} \neq t^{pq}$ (par exemple, si $p=2$ et $q=1$, $t^{2-1} = t$ et $t^{2 \times 1} = t^2$). L'énoncé est donc faux.

Exercice 2 (2 points)

1. c) $\frac{16}{Z}$ Soit $Z$ un nombre complexe de module 4. On sait que $|Z|^2 = Z \bar{Z}$. Puisque $|Z|=4$, alors $|Z|^2 = 4^2 = 16$. Donc, $Z \bar{Z} = 16$. Pour trouver le conjugué $\bar{Z}$, on isole $\bar{Z}$ : $\bar{Z} = \frac{16}{Z}$

2. b) $2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)$ Soit $z = -\sqrt{3} + i$.

   • Calcul du module : $|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$
   • Calcul de l'argument $\theta$ : $\cos \theta = \frac{-\sqrt{3}}{2} \quad et \quad \sin \theta = \frac{1}{2}$ Ces valeurs correspondent à un angle dans le deuxième quadrant. L'angle de référence est $\frac{\pi}{6}$. Donc, $\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. La forme trigonométrique est $z = 2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)$.

3. c) $e$ L'intégrale demandée est $\int_{0}^{1} (\ln x + 1)\,dx$. La primitive de $\ln x$ est $x \ln x - x$. Donc, la primitive de $\ln x + 1$ est $(x \ln x - x) + x = x \ln x$. L'intégrale est donc $\left[ x \ln x \right]_{0}^{1}$. $\int_{0}^{1} (\ln x + 1)\,dx = (1 \ln 1) - \lim_{x \to 0^+} (x \ln x)$ On sait que $\ln 1 = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} (x \ln x) = 0$. Donc, $\int_{0}^{1} (\ln x + 1)\,dx = 0 - 0 = 0$. Cependant, la valeur $0$ n'est pas proposée parmi les options. Il est probable qu'il y ait une erreur dans les bornes de l'intégrale ou dans les options. Si l'intégrale était $\int_{0}^{e} (\ln x + 1)\,dx$ (ou $\int_{1}^{e} (\ln x + 1)\,dx$), le résultat serait : $\left[ x \ln x \right]_{0}^{e} = (e \ln e) - \lim_{x \to 0^+} (x \ln x) = e \cdot 1 - 0 = e$ En supposant cette correction, la réponse serait $e$.

4. d) $\frac{1}{32}$ On cherche l'image de 4 par le prolongement par continuité $g$ de la fonction $f(x) = \frac{\sqrt{x}-2}{x^2-16}$. Cela revient à calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $4$. Lorsque $x \to 4$, le numérateur $\sqrt{x}-2 \to \sqrt{4}-2 = 0$ et le dénominateur $x^2-16 \to 4^2-16 = 0$. C'est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On peut factoriser le dénominateur et multiplier par le conjugué du numérateur : $f(x) = \frac{\sqrt{x}-2}{(x-4)(x+4)} = \frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(x+4)}$ Pour $x \neq 4$, on peut simplifier par $(\sqrt{x}-2)$ : $f(x) = \frac{1}{(\sqrt{x}+2)(x+4)}$ Maintenant, on calcule la limite lorsque $x \to 4$ : $\lim_{x \to 4} f(x) = \frac{1}{(\sqrt{4}+2)(4+4)} = \frac{1}{(2+2)(8)} = \frac{1}{4 \times 8} = \frac{1}{32}$

Exercice 3 (3 points)

Soit le polynôme $P(z) = z^3 - (3+2i)z^2 + (1+4i)z + 1 - 2i$.

1. Calcul de $P(i)$ : Substituons $z=i$ dans l'expression de $P(z)$ : $P(i) = i^3 - (3+2i)i^2 + (1+4i)i + 1 - 2i$ On utilise $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$ : $P(i) = -i - (3+2i)(-1) + (i+4i^2) + 1 - 2i$ $P(i) = -i + (3+2i) + (i-4) + 1 - 2i$ $P(i) = -i + 3 + 2i + i - 4 + 1 - 2i$ Regroupons les parties réelles et imaginaires : $P(i) = (3 - 4 + 1) + (-1 + 2 + 1 - 2)i$ $P(i) = 0 + 0i$ $P(i) = 0$

2. Vérification de la factorisation : On doit vérifier que $P(z) = (z-i)[z^2 - (3+i)z + 2+i]$. Développons le membre de droite : \begin{align*} (z-i)[z^2 - (3+i)z + 2+i] &= z(z^2 - (3+i)z + 2+i) - i(z^2 - (3+i)z + 2+i) \ &= z^3 - (3+i)z^2 + (2+i)z - iz^2 + i(3+i)z - i(2+i) \ &= z^3 - (3+i)z^2 + (2+i)z - iz^2 + (3i+i^2)z - (2i+i^2) \ &= z^3 - (3+i)z^2 + (2+i)z - iz^2 + (3i-1)z - (2i-1) \ &= z^3 - (3+i+i)z^2 + (2+i+3i-1)z + 1 - 2i \ &= z^3 - (3+2i)z^2 + (1+4i)z + 1 - 2i \end{align*} Le développement correspond bien à $P(z)$. La vérification est confirmée.

3. Vérification que $1+i$ est une racine de $2i$ : Pour vérifier que $1+i$ est une racine de $2i$, il faut calculer $(1+i)^2$ et voir si le résultat est $2i$. $(1+i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + i^2$ $(1+i)^2 = 1 + 2i - 1$ $(1+i)^2 = 2i$ La vérification est confirmée.

4. Résolution de l'équation $P(z) = 0$ dans $\mathbb{C}$ : D'après la question 2, on a $P(z) = (z-i)[z^2 - (3+i)z + 2+i] = 0$. Cela implique que $z-i = 0$ ou $z^2 - (3+i)z + 2+i = 0$.

   • La première solution est $z_1 = i$.

   • Pour les autres solutions, résolvons l'équation quadratique $z^2 - (3+i)z + 2+i = 0$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ : $\Delta = (-(3+i))^2 - 4(1)(2+i)$ $\Delta = (3+i)^2 - 4(2+i)$ $\Delta = (3^2 + 2 \cdot 3 \cdot i + i^2) - (8+4i)$ $\Delta = (9 + 6i - 1) - (8+4i)$ $\Delta = (8 + 6i) - (8+4i)$ $\Delta = 2i$ D'après la question 3, on sait que $(1+i)^2 = 2i$. Donc, une racine carrée de $\Delta$ est $\delta = 1+i$. Les solutions de l'équation quadratique sont données par $z = \frac{-b \pm \delta}{2a}$ : $z = \frac{(3+i) \pm (1+i)}{2}$ Les deux autres solutions sont : $z_2 = \frac{(3+i) + (1+i)}{2} = \frac{4+2i}{2} = 2+i$ $z_3 = \frac{(3+i) - (1+i)}{2} = \frac{2}{2} = 1$ L'ensemble des solutions de $P(z)=0$ est donc : $S = \{1, i, 2+i\}$

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