Détermine l'ensemble de définition de chacune des fonctions de R vers R définies ci-après :

Question

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Déterminons l'ensemble de définition de chaque fonction.

Pour $f(x) = x^2 + 5x - 7$ : Cette fonction est un polynôme. Les polynômes sont définis pour tous les nombres réels. L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$ .

D_f = \boxed{\mathbb{R}}

Pour $g(x) = \frac{3x + 4}{2x - 8}$ : Cette fonction est une fraction rationnelle. Le dénominateur ne peut pas être nul.

On pose la condition que le dénominateur soit non nul.
$2x - 8 \neq 0$
On résout l'inéquation pour trouver les valeurs de $x$ à exclure.
$2x \neq 8 \implies x \neq 4$
L'ensemble de définition est tous les nombres réels sauf 4.
$D_g = \boxed{\mathbb{R} \setminus \{4\}}$
1. Pour $h(x) = \sqrt{2x - 6}$ : Cette fonction contient une racine carrée. L'expression sous la racine carrée doit être supérieure ou égale à zéro.
On pose la condition que l'expression sous la racine soit non négative.
$2x - 6 \ge 0$
On résout l'inéquation.
$2x \ge 6 \implies x \ge 3$
L'ensemble de définition est l'intervalle $[3 ; +\infty[$ .
$D_h = \boxed{[3 ; +\infty[}$
1. Pour $i(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 4}$ : Cette fonction est une fraction rationnelle. Le dénominateur ne peut pas être nul.
On pose la condition que le dénominateur soit non nul.
$x^2 - 4 \neq 0$
On résout l'équation $x^2 - 4 = 0$ pour trouver les valeurs à exclure.
$x^2 = 4 \implies x = \sqrt{4} \text{ ou } x = -\sqrt{4} \implies x = 2 \text{ ou } x = -2$
Donc, $x \neq 2$ et $x \neq -2$ .
L'ensemble de définition est tous les nombres réels sauf $-2$ et 2.
$D_i = \boxed{\mathbb{R} \setminus \{-2 ; 2\}}$
1. Pour $j(x) = \frac{x}{(x - 3)(x + 2)}$ : Cette fonction est une fraction rationnelle. Le dénominateur ne peut pas être nul.
On pose la condition que le dénominateur soit non nul.
$(x - 3)(x + 2) \neq 0$
On résout l'équation $(x - 3)(x + 2) = 0$ pour trouver les valeurs à exclure.
$x - 3 = 0 \text{ ou } x + 2 = 0 \implies x = 3 \text{ ou } x = -2$
Donc, $x \neq 3$ et $x \neq -2$ .
L'ensemble de définition est tous les nombres réels sauf $-2$ et 3.
$D_j = \boxed{\mathbb{R} \setminus \{-2 ; 3\}}$
1. Pour $k(x) = \frac{2}{x - 3} + \frac{1}{x + 2}$ : Cette fonction est une somme de fractions rationnelles. Chaque dénominateur doit être non nul.
On pose les conditions que les dénominateurs soient non nuls.
$x - 3 \neq 0 \quad \text{et} \quad x + 2 \neq 0$
On résout chaque inéquation.
$x \neq 3 \quad \text{et} \quad x \neq -2$
L'ensemble de définition est tous les nombres réels sauf $-2$ et 3.
$D_k = \boxed{\mathbb{R} \setminus \{-2 ; 3\}}$
1. Pour $l(x) = \frac{5}{3x^2 + 5}$ : Cette fonction est une fraction rationnelle. Le dénominateur ne peut pas être nul.
On pose la condition que le dénominateur soit non nul.
$3x^2 + 5 \neq 0$
On résout l'équation $3x^2 + 5 = 0$ .
$3x^2 = -5 \implies x^2 = -\frac{5}{3}$
Puisque le carré d'un nombre réel ne peut jamais être négatif, l'équation $x^2 = -\frac{5}{3}$ n'a pas de solution réelle. Cela signifie que le dénominateur $3x^2 + 5$ n'est jamais nul pour $x \in \mathbb{R}$ .
L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$ .
$D_l = \boxed{\mathbb{R}}$
1. Pour $m(x) = \frac{x}{(x - 1)^2}$ : Cette fonction est une fraction rationnelle. Le dénominateur ne peut pas être nul.
On pose la condition que le dénominateur soit non nul.
$(x - 1)^2 \neq 0$
On résout l'inéquation.
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
L'ensemble de définition est tous les nombres réels sauf 1.
$D_m = \boxed{\mathbb{R} \setminus \{1\}}$

Détermine l'ensemble de définition de chacune des fonctions de R vers R définies ci-après :

Step-by-step solution

On pose la condition que le dénominateur soit non nul.

On résout l'inéquation pour trouver les valeurs de $x$ à exclure.

On pose la condition que l'expression sous la racine soit non négative.

On résout l'inéquation.

On pose la condition que le dénominateur soit non nul.

On résout l'équation $x^2 - 4 = 0$ pour trouver les valeurs à exclure.

On pose la condition que le dénominateur soit non nul.

On résout l'équation $(x - 3)(x + 2) = 0$ pour trouver les valeurs à exclure.

On pose les conditions que les dénominateurs soient non nuls.

On résout chaque inéquation.

On pose la condition que le dénominateur soit non nul.

On résout l'équation $3x^2 + 5 = 0$ .

On pose la condition que le dénominateur soit non nul.

On résout l'inéquation.

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Détermine l'ensemble de définition de chacune des fonctions de R vers R définies ci-après :

Step-by-step solution

On pose la condition que le dénominateur soit non nul.

On résout l'inéquation pour trouver les valeurs de xxx à exclure.

On pose la condition que l'expression sous la racine soit non négative.

On résout l'inéquation.

On pose la condition que le dénominateur soit non nul.

On résout l'équation x2−4=0x^2 - 4 = 0x2−4=0 pour trouver les valeurs à exclure.

On pose la condition que le dénominateur soit non nul.

On résout l'équation (x−3)(x+2)=0(x - 3)(x + 2) = 0(x−3)(x+2)=0 pour trouver les valeurs à exclure.

On pose les conditions que les dénominateurs soient non nuls.

On résout chaque inéquation.

On pose la condition que le dénominateur soit non nul.

On résout l'équation 3x2+5=03x^2 + 5 = 03x2+5=0.

On pose la condition que le dénominateur soit non nul.

On résout l'inéquation.

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On résout l'inéquation pour trouver les valeurs de $x$ à exclure.

On résout l'équation $x^2 - 4 = 0$ pour trouver les valeurs à exclure.

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