अवकल समीकरण d2y/dx2 - 6 dy/dx + 25y = 0 का हल है -

दिया गया अवकल समीकरण है:

यह एक द्वितीय-क्रम रैखिक समघातीय अवकल समीकरण है जिसमें स्थिर गुणांक हैं।

अवकल समीकरण के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण $m^2 - 6m + 25 = 0$ है।

यह एक द्विघात समीकरण है। हम द्विघात सूत्र $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $m$ के मान ज्ञात कर सकते हैं, जहाँ $a=1$, $b=-6$, और $c=25$ है।

जड़ें सम्मिश्र संयुग्मी हैं, $\alpha \pm i\beta$ के रूप में, जहाँ $\alpha = 3$ और $\beta = 4$ है।

जब अभिलाक्षणिक समीकरण की जड़ें सम्मिश्र संयुग्मी $\alpha \pm i\beta$ होती हैं, तो अवकल समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार दिया जाता है:

$\alpha = 3$ और $\beta = 4$ को सूत्र में रखने पर:

यह हल विकल्प (2) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(2) } e^{3x}(C_1 \cos 4x + C_2 \sin 4x)$.