This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: दिए गए अवकल समीकरण को पहचानें। दिया गया अवकल समीकरण है: (d^2y)/(dx^2) - 6(dy)/(dx) + 25y = 0 यह एक द्वितीय-क्रम रैखिक समघातीय अवकल समीकरण है जिसमें स्थिर गुणांक हैं। Step 2: अभिलाक्षणिक समीकरण (characteristic equation) लिखें। अवकल समीकरण के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण m^2 - 6m + 25 = 0 है। Step 3: अभिलाक्षणिक समीकरण को हल करें। यह एक द्विघात समीकरण है। हम द्विघात सूत्र m = -b ± sqrt(b^2 - 4ac)2a का उपयोग करके m के मान ज्ञात कर सकते हैं, जहाँ a=1, b=-6, और c=25 है। m = -(-6) ± sqrt((-6)^2 - 4(1)(25))2(1) m = 6 ± sqrt(36 - 100)2 m = 6 ± sqrt(-64)2 m = (6 ± 8i)/(2) m = 3 ± 4i जड़ें सम्मिश्र संयुग्मी हैं, ± i के रूप में, जहाँ = 3 और = 4 है। Step 4: सामान्य हल का सूत्र लागू करें। जब अभिलाक्षणिक समीकरण की जड़ें सम्मिश्र संयुग्मी ± i होती हैं, तो अवकल समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार दिया जाता है: y(x) = e^ x(C_1 ( x) + C_2 ( x)) Step 5: और के मानों को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करें। = 3 और = 4 को सूत्र में रखने पर: y(x) = e^3x(C_1 (4x) + C_2 (4x)) Step 6: प्राप्त हल की तुलना दिए गए विकल्पों से करें। यह हल विकल्प (2) से मेल खाता है। The final answer is (2) e^3x(C_1 4x + C_2 4x). अगला प्रश्न भेजें 📸