This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: दिए गए अवकल समीकरण को पहचानें। दिया गया अवकल समीकरण है: (D^5 - D)y = 8 x जहाँ D = (d)/(dx) है। हमें इस समीकरण का विशिष्ट समाकल (Particular Integral, PI) ज्ञात करना है। Step 2: विशिष्ट समाकल का सूत्र लिखें। विशिष्ट समाकल का सूत्र है: PI = (1)/(f(D)) R(x) यहाँ f(D) = D^5 - D और R(x) = 8 x है। PI = (1)/(D^5 - D) (8 x) Step 3: हर (denominator) को गुणनखंडित करें। D^5 - D = D(D^4 - 1) = D(D^2 - 1)(D^2 + 1) D^5 - D = D(D-1)(D+1)(D^2 + 1) Step 4: D^2 = -a^2 नियम का प्रयोग करें। जब R(x) = (ax) या (ax) होता है, तो हम D^2 को -a^2 से प्रतिस्थापित करते हैं। यहाँ R(x) = 8 x, तो a=1 है। इसलिए, हम D^2 को -1^2 = -1 से प्रतिस्थापित करेंगे। PI = (1)/(D(D^2 - 1)(D^2 + 1)) (8 x) यदि हम D^2 = -1 को सीधे प्रतिस्थापित करते हैं, तो हर में (D^2 + 1) पद शून्य हो जाएगा: D(-1 - 1)(-1 + 1) = D(-2)(0) = 0 चूंकि हर शून्य हो जाता है, यह अनुनाद (resonance) का मामला है, और हमें एक संशोधित नियम का उपयोग करना होगा। Step 5: संशोधित नियम का प्रयोग करें। जब f(-a^2) = 0 होता है, तो हम सूत्र का उपयोग करते हैं: PI = x (1)/(f'(D)) (ax) पहले f(D) का अवकलज f'(D) ज्ञात करें: f(D) = D^5 - D f'(D) = (d)/(dD)(D^5 - D) = 5D^4 - 1 अब, इस f'(D) में D^2 = -1 प्रतिस्थापित करें: D^4 = (D^2)^2 = (-1)^2 = 1 f'(D) = 5(1) - 1 = 5 - 1 = 4 अब, विशिष्ट समाकल की गणना करें: PI = x (1)/(4) (8 x) PI = x (8)/(4) x PI = 2x x Step 6: प्राप्त हल की तुलना दिए गए विकल्पों से करें। हमारा हल 2x x है, जो विकल्प (2) से मेल खाता है। The final answer is (2) 2x x. अगला प्रश्न भेजें 📸