अवकल समीकरण (D5 − D)Y = 8 sin x ; D = d/dx का विशिष्ट समाकल है -

दिया गया अवकल समीकरण है:

$$(D^5 - D)y = 8 \sin x$$

जहाँ $D = \frac{d}{dx}$ है। हमें इस समीकरण का विशिष्ट समाकल (Particular Integral, PI) ज्ञात करना है।

विशिष्ट समाकल का सूत्र है:

$$PI = \frac{1}{f(D)} R(x)$$

यहाँ $f(D) = D^5 - D$ और $R(x) = 8 \sin x$ है।

$$PI = \frac{1}{D^5 - D} (8 \sin x)$$

$$D^5 - D = D(D^4 - 1) = D(D^2 - 1)(D^2 + 1)$$ $$D^5 - D = D(D-1)(D+1)(D^2 + 1)$$

जब $R(x) = \sin(ax)$ या $\cos(ax)$ होता है, तो हम $D^2$ को $-a^2$ से प्रतिस्थापित करते हैं। यहाँ $R(x) = 8 \sin x$, तो $a=1$ है।
इसलिए, हम $D^2$ को $-1^2 = -1$ से प्रतिस्थापित करेंगे।

$$PI = \frac{1}{D(D^2 - 1)(D^2 + 1)} (8 \sin x)$$

यदि हम $D^2 = -1$ को सीधे प्रतिस्थापित करते हैं, तो हर में $(D^2 + 1)$ पद शून्य हो जाएगा:

$$D(-1 - 1)(-1 + 1) = D(-2)(0) = 0$$

चूंकि हर शून्य हो जाता है, यह अनुनाद (resonance) का मामला है, और हमें एक संशोधित नियम का उपयोग करना होगा।

जब $f(-a^2) = 0$ होता है, तो हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

$$PI = x \frac{1}{f'(D)} \sin(ax)$$

पहले $f(D)$ का अवकलज $f'(D)$ ज्ञात करें:

$$f(D) = D^5 - D$$ $$f'(D) = \frac{d}{dD}(D^5 - D) = 5D^4 - 1$$

अब, इस $f'(D)$ में $D^2 = -1$ प्रतिस्थापित करें:

$$D^4 = (D^2)^2 = (-1)^2 = 1$$ $$f'(D) = 5(1) - 1 = 5 - 1 = 4$$

अब, विशिष्ट समाकल की गणना करें:

$$PI = x \frac{1}{4} (8 \sin x)$$ $$PI = x \frac{8}{4} \sin x$$ $$PI = 2x \sin x$$

हमारा हल $2x \sin x$ है, जो विकल्प (2) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(2) } 2x \sin x$.