Donne, sur sa copie, toutes les fractions de la ligne 4 de cet arbre. Montre que la fraction 44/13 apparaît dans l’arbre. Sur quelle ligne apparaît-elle ?

Pour résoudre cette partie, nous allons utiliser la définition de la suite de Stern $(v_n)$ et ses propriétés. Il y a une légère incohérence dans l'énoncé concernant la valeur de $v_3$. La définition de la suite de Stern comme étant les numérateurs des fractions de l'arbre de Calkin-Wilf, ainsi que les relations de récurrence demandées à la question 2, impliquent que $v_3 = v_1 + v_2 = 1+1=2$. Cependant, l'énoncé donne $v_3=1$. Nous allons suivre la définition cohérente avec les relations de récurrence et la construction de l'arbre de Calkin-Wilf, en considérant $v_3=2$.

Partie C - Suite de Stern

1. Donne les valeurs numériques de $v_8$ à $v_{15}$.

Nous utilisons la définition de la suite de Stern où $v_n$ est le numérateur de la $n$-ième fraction $u_n$ de la suite de Calkin-Wilf. Les fractions $u_n$ sont générées par l'arbre de Calkin-Wilf.
L'arbre de Calkin-Wilf commence par $\frac{1}{1}$. Pour une fraction $\frac{a}{b}$, ses enfants sont $\frac{a}{a+b}$ (gauche) et $\frac{a+b}{b}$ (droite). La suite $u_n$ est lue de gauche à droite, ligne par ligne.

Les premières fractions $u_n$ sont :
$u_1 = \frac{1}{1}$
$u_2 = \frac{1}{2}$ (enfant gauche de $u_1$)
$u_3 = \frac{2}{1}$ (enfant droit de $u_1$)
$u_4 = \frac{1}{3}$ (enfant gauche de $u_2$)
$u_5 = \frac{3}{2}$ (enfant droit de $u_2$)
$u_6 = \frac{2}{3}$ (enfant gauche de $u_3$)
$u_7 = \frac{3}{1}$ (enfant droit de $u_3$)

Les numérateurs de ces fractions donnent les premiers termes de la suite de Stern :
$v_1 = 1$
$v_2 = 1$
$v_3 = 2$
$v_4 = 1$
$v_5 = 3$
$v_6 = 2$
$v_7 = 3$

Maintenant, générons les fractions de la ligne 4 de l'arbre pour trouver $u_8$ à $u_{15}$ et leurs numérateurs :
Enfants de $u_4 = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ et $\frac{1+3}{3} = \frac{4}{3}$.
Enfants de $u_5 = \frac{3}{2}$: $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ et $\frac{3+2}{2} = \frac{5}{2}$.
Enfants de $u_6 = \frac{2}{3}$: $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ et $\frac{2+3}{3} = \frac{5}{3}$.
Enfants de $u_7 = \frac{3}{1}$: $\frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$ et $\frac{3+1}{1} = \frac{4}{1}$.

Les fractions $u_8$ à $u_{15}$ sont :
$u_8 = \frac{1}{4}$
$u_9 = \frac{4}{3}$
$u_{10} = \frac{3}{5}$
$u_{11} = \frac{5}{2}$
$u_{12} = \frac{2}{5}$
$u_{13} = \frac{5}{3}$
$u_{14} = \frac{3}{4}$
$u_{15} = \frac{4}{1}$

Les valeurs numériques de $v_8$ à $v_{15}$ sont les numérateurs de ces fractions :

Les valeurs numériques de $v_8$ à $v_{15}$ sont : $\boxed{v_8=1, v_9=4, v_{10}=3, v_{11}=5, v_{12}=2, v_{13}=5, v_{14}=3, v_{15}=4}$

2. Utilise les questions précédentes pour montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a les égalités suivantes : $v_{2n} = v_n$ et $v_{2n+1} = v_n + v_{n+1}$.