Donne, sur sa copie, toutes les fractions de la ligne 4 de cet arbre. Montre que la fraction 44/13 apparaît dans l’arbre. Sur quelle ligne apparaît-elle ?

Question

Asked on August 29, 2026Mathematics

This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.

Accepted Answer · 2026-08-29T15:27:15.303Z

Pour résoudre cette partie, nous allons utiliser la définition de la suite de Stern (v_n) et ses propriétés. Il y a une légère incohérence dans l'énoncé concernant la valeur de v_3. La définition de la suite de Stern comme étant les numérateurs des fractions de l'arbre de Calkin-Wilf, ainsi que les relations de récurrence demandées à la question 2, impliquent que v_3 = v_1 + v_2 = 1+1=2. Cependant, l'énoncé donne v_3=1. Nous allons suivre la définition cohérente avec les relations de récurrence et la construction de l'arbre de Calkin-Wilf, en considérant v_3=2. Partie C - Suite de Stern 1. Donne les valeurs numériques de v_8 à v_15. Nous utilisons la définition de la suite de Stern où v_n est le numérateur de la n-ième fraction u_n de la suite de Calkin-Wilf. Les fractions u_n sont générées par l'arbre de Calkin-Wilf. L'arbre de Calkin-Wilf commence par (1)/(1). Pour une fraction (a)/(b), ses enfants sont (a)/(a+b) (gauche) et (a+b)/(b) (droite). La suite u_n est lue de gauche à droite, ligne par ligne. Les premières fractions u_n sont : u_1 = (1)/(1) u_2 = (1)/(2) (enfant gauche de u_1) u_3 = (2)/(1) (enfant droit de u_1) u_4 = (1)/(3) (enfant gauche de u_2) u_5 = (3)/(2) (enfant droit de u_2) u_6 = (2)/(3) (enfant gauche de u_3) u_7 = (3)/(1) (enfant droit de u_3) Les numérateurs de ces fractions donnent les premiers termes de la suite de Stern : v_1 = 1 v_2 = 1 v_3 = 2 v_4 = 1 v_5 = 3 v_6 = 2 v_7 = 3 Maintenant, générons les fractions de la ligne 4 de l'arbre pour trouver u_8 à u_15 et leurs numérateurs : Enfants de u_4 = (1)/(3): (1)/(1+3) = (1)/(4) et (1+3)/(3) = (4)/(3). Enfants de u_5 = (3)/(2): (3)/(3+2) = (3)/(5) et (3+2)/(2) = (5)/(2). Enfants de u_6 = (2)/(3): (2)/(2+3) = (2)/(5) et (2+3)/(3) = (5)/(3). Enfants de u_7 = (3)/(1): (3)/(3+1) = (3)/(4) et (3+1)/(1) = (4)/(1). Les fractions u_8 à u_15 sont : u_8 = (1)/(4) u_9 = (4)/(3) u_10 = (3)/(5) u_11 = (5)/(2) u_12 = (2)/(5) u_13 = (5)/(3) u_14 = (3)/(4) u_15 = (4)/(1) Les valeurs numériques de v_8 à v_15 sont les numérateurs de ces fractions : v_8 = 1, v_9 = 4, v_10 = 3, v_11 = 5, v_12 = 2, v_13 = 5, v_14 = 3, v_15 = 4 Les valeurs numériques de v_8 à v_15 sont : v_8=1, v_9=4, v_10=3, v_11=5, v_12=2, v_13=5, v_14=3, v_15=4 2. Utilise les questions précédentes pour montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a les égalités suivantes : v_2n = v_n et v_2n+1 = v_n + v_n+1. Step 1: Rappelons la construction de l'arbre de Calkin-Wilf. Si u_n = (a)/(b) est une fraction dans l'arbre, ses deux enfants sont u_2n = (a)/(a+b) (enfant gauche) et u_2n+1 = (a+b)/(b) (enfant droit). Step 2: Utilisons la définition de v_n comme le numérateur de u_n. Si u_n = (a)/(b), alors v_n = a. Pour l'enfant gauche u_2n = (a)/(a+b), son numérateur est a. Donc, v_2n = a. En substituant a = v_n, nous obtenons la première égalité : v_2n = v_n Step 3: Utilisons la relation donnée u_n = (v_n)/(v_n+1). Puisque u_n = (a)/(b) et v_n = a, nous avons (a)/(b) = (a)/(v_n+1), ce qui implique v_n+1 = b. Pour l'enfant droit u_2n+1 = (a+b)/(b), son numérateur est a+b. Donc, v_2n+1 = a+b. En substituant a = v_n et b = v_n+1, nous obtenons la deuxième égalité : v_2n+1 = v_n + v_n+1 3. En déduis les valeurs numériques de v_64 et v_65. Nous utilisons les relations de récurrence établies à la question 2 : v_2n = v_n et v_2n+1 = v_n + v_n+1, avec v_1=1 et v_2=1. Step 1: Calcul de v_64. v_64 = v_2 × 32 = v_32 v_32 = v_2 × 16 = v_16 v_16 = v_2 × 8 = v_8 v_8 = v_2 × 4 = v_4 v_4 = v_2 × 2 = v_2 v_2 = v_2 × 1 = v_1 Puisque v_1 = 1, nous avons : v_64 = 1 Step 2: Calcul de v_65. v_65 = v_2 × 32 + 1 = v_32 + v_33 Nous savons déjà que v_32 = 1. Il nous faut calculer v_33. v_33 = v_2 × 16 + 1 = v_16 + v_17 Nous savons que v_16 = v_8 = v_4 = v_2 = v_1 = 1. Il nous faut calculer v_17. v_17 = v_2 × 8 + 1 = v_8 + v_9 Nous savons que v_8 = 1. Il nous faut calculer v_9. v_9 = v_2 × 4 + 1 = v_4 + v_5 Nous savons que v_4 = 1. Il nous faut calculer v_5. v_5 = v_2 × 2 + 1 = v_2 + v_3 Nous savons que v_2 = 1. Il nous faut calculer v_3. v_3 = v_2 × 1 + 1 = v_1 + v_2 = 1 + 1 = 2 Maintenant, nous remontons les calculs : v_5 = v_2 + v_3 = 1 + 2 = 3 v_9 = v_4 + v_5 = 1 + 3 = 4 v_17 = v_8 + v_9 = 1 + 4 = 5 v_33 = v_16 + v_17 = 1 + 5 = 6 Enfin : v_65 = v_32 + v_33 = 1 + 6 = 7 Les valeurs numériques sont : v_64=1, v_65=7 Envoie-moi la prochaine 📸

Accepted Answer · 2026-08-29T15:27:15.303Z

Pour résoudre cette partie, nous allons utiliser la définition de la suite de Stern (v_n) et ses propriétés. Il y a une légère incohérence dans l'énoncé concernant la valeur de v_3. La définition de la suite de Stern comme étant les numérateurs des fractions de l'arbre de Calkin-Wilf, ainsi que les relations de récurrence demandées à la question 2, impliquent que v_3 = v_1 + v_2 = 1+1=2. Cependant, l'énoncé donne v_3=1. Nous allons suivre la définition cohérente avec les relations de récurrence et la construction de l'arbre de Calkin-Wilf, en considérant v_3=2. Partie C - Suite de Stern 1. Donne les valeurs numériques de v_8 à v_15. Nous utilisons la définition de la suite de Stern où v_n est le numérateur de la n-ième fraction u_n de la suite de Calkin-Wilf. Les fractions u_n sont générées par l'arbre de Calkin-Wilf. L'arbre de Calkin-Wilf commence par (1)/(1). Pour une fraction (a)/(b), ses enfants sont (a)/(a+b) (gauche) et (a+b)/(b) (droite). La suite u_n est lue de gauche à droite, ligne par ligne. Les premières fractions u_n sont : u_1 = (1)/(1) u_2 = (1)/(2) (enfant gauche de u_1) u_3 = (2)/(1) (enfant droit de u_1) u_4 = (1)/(3) (enfant gauche de u_2) u_5 = (3)/(2) (enfant droit de u_2) u_6 = (2)/(3) (enfant gauche de u_3) u_7 = (3)/(1) (enfant droit de u_3) Les numérateurs de ces fractions donnent les premiers termes de la suite de Stern : v_1 = 1 v_2 = 1 v_3 = 2 v_4 = 1 v_5 = 3 v_6 = 2 v_7 = 3 Maintenant, générons les fractions de la ligne 4 de l'arbre pour trouver u_8 à u_15 et leurs numérateurs : Enfants de u_4 = (1)/(3): (1)/(1+3) = (1)/(4) et (1+3)/(3) = (4)/(3). Enfants de u_5 = (3)/(2): (3)/(3+2) = (3)/(5) et (3+2)/(2) = (5)/(2). Enfants de u_6 = (2)/(3): (2)/(2+3) = (2)/(5) et (2+3)/(3) = (5)/(3). Enfants de u_7 = (3)/(1): (3)/(3+1) = (3)/(4) et (3+1)/(1) = (4)/(1). Les fractions u_8 à u_15 sont : u_8 = (1)/(4) u_9 = (4)/(3) u_10 = (3)/(5) u_11 = (5)/(2) u_12 = (2)/(5) u_13 = (5)/(3) u_14 = (3)/(4) u_15 = (4)/(1) Les valeurs numériques de v_8 à v_15 sont les numérateurs de ces fractions : v_8 = 1, v_9 = 4, v_10 = 3, v_11 = 5, v_12 = 2, v_13 = 5, v_14 = 3, v_15 = 4 Les valeurs numériques de v_8 à v_15 sont : v_8=1, v_9=4, v_10=3, v_11=5, v_12=2, v_13=5, v_14=3, v_15=4 2. Utilise les questions précédentes pour montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a les égalités suivantes : v_2n = v_n et v_2n+1 = v_n + v_n+1. Step 1: Rappelons la construction de l'arbre de Calkin-Wilf. Si u_n = (a)/(b) est une fraction dans l'arbre, ses deux enfants sont u_2n = (a)/(a+b) (enfant gauche) et u_2n+1 = (a+b)/(b) (enfant droit). Step 2: Utilisons la définition de v_n comme le numérateur de u_n. Si u_n = (a)/(b), alors v_n = a. Pour l'enfant gauche u_2n = (a)/(a+b), son numérateur est a. Donc, v_2n = a. En substituant a = v_n, nous obtenons la première égalité : v_2n = v_n Step 3: Utilisons la relation donnée u_n = (v_n)/(v_n+1). Puisque u_n = (a)/(b) et v_n = a, nous avons (a)/(b) = (a)/(v_n+1), ce qui implique v_n+1 = b. Pour l'enfant droit u_2n+1 = (a+b)/(b), son numérateur est a+b. Donc, v_2n+1 = a+b. En substituant a = v_n et b = v_n+1, nous obtenons la deuxième égalité : v_2n+1 = v_n + v_n+1 3. En déduis les valeurs numériques de v_64 et v_65. Nous utilisons les relations de récurrence établies à la question 2 : v_2n = v_n et v_2n+1 = v_n + v_n+1, avec v_1=1 et v_2=1. Step 1: Calcul de v_64. v_64 = v_2 × 32 = v_32 v_32 = v_2 × 16 = v_16 v_16 = v_2 × 8 = v_8 v_8 = v_2 × 4 = v_4 v_4 = v_2 × 2 = v_2 v_2 = v_2 × 1 = v_1 Puisque v_1 = 1, nous avons : v_64 = 1 Step 2: Calcul de v_65. v_65 = v_2 × 32 + 1 = v_32 + v_33 Nous savons déjà que v_32 = 1. Il nous faut calculer v_33. v_33 = v_2 × 16 + 1 = v_16 + v_17 Nous savons que v_16 = v_8 = v_4 = v_2 = v_1 = 1. Il nous faut calculer v_17. v_17 = v_2 × 8 + 1 = v_8 + v_9 Nous savons que v_8 = 1. Il nous faut calculer v_9. v_9 = v_2 × 4 + 1 = v_4 + v_5 Nous savons que v_4 = 1. Il nous faut calculer v_5. v_5 = v_2 × 2 + 1 = v_2 + v_3 Nous savons que v_2 = 1. Il nous faut calculer v_3. v_3 = v_2 × 1 + 1 = v_1 + v_2 = 1 + 1 = 2 Maintenant, nous remontons les calculs : v_5 = v_2 + v_3 = 1 + 2 = 3 v_9 = v_4 + v_5 = 1 + 3 = 4 v_17 = v_8 + v_9 = 1 + 4 = 5 v_33 = v_16 + v_17 = 1 + 5 = 6 Enfin : v_65 = v_32 + v_33 = 1 + 6 = 7 Les valeurs numériques sont : v_64=1, v_65=7 Envoie-moi la prochaine 📸

Donne, sur sa copie, toutes les fractions de la ligne 4 de cet arbre. Montre que la fraction 44/13 apparaît dans l’arbre. Sur quelle ligne apparaît-elle ?

Need help with your own homework?

More Mathematics Questions

Donne, sur sa copie, toutes les fractions de la ligne 4 de cet arbre. Montre que la fraction 44/13 apparaît dans l’arbre. Sur quelle ligne apparaît-elle ?

Need help with your own homework?

More Mathematics Questions