Write down the first three terms of the sequence governed by the rule An = n+1. Given the sequence 3, x, y, -24 find x and y if: a) The sequence is arithmetic b) The sequence is geometric.

Huu hapa ni ufumbuzi wa swali la 1:

1a) Andika neno la kwanza, la pili na la tatu la mfuatano unaotawaliwa na kanuni $A_n = \frac{n}{n+1}$.

• Hatua ya 1: Tafuta neno la kwanza ($A_1$) kwa kubadilisha $n=1$ kwenye kanuni.

  $$A_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$

• Hatua ya 2: Tafuta neno la pili ($A_2$) kwa kubadilisha $n=2$ kwenye kanuni.

  $$A_2 = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$$

• Hatua ya 3: Tafuta neno la tatu ($A_3$) kwa kubadilisha $n=3$ kwenye kanuni.

  $$A_3 = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$$

  Maneno matatu ya kwanza ni $\boxed{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}}$.

1b) Kutokana na mfuatano $3, x, y, -24$, tafuta $x$ na $y$ ikiwa:

i) Mfuatano ni wa kihesabu (arithmetic sequence).
Katika mfuatano wa kihesabu, tofauti ya kawaida ($d$) kati ya maneno mfululizo ni sawa.
Maneno ni $a_1 = 3$, $a_2 = x$, $a_3 = y$, $a_4 = -24$.

• Hatua ya 1: Tumia kanuni ya neno la $n$-th katika mfuatano wa kihesabu: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Kwa neno la 4 ($a_4$):

  $$a_4 = a_1 + (4-1)d$$ $$-24 = 3 + 3d$$

• Hatua ya 2: Tatua kwa $d$.

  $$-24 - 3 = 3d$$ $$-27 = 3d$$ $$d = \frac{-27}{3}$$ $$d = -9$$

• Hatua ya 3: Tafuta $x$ (neno la 2).

  $$x = a_1 + d$$ $$x = 3 + (-9)$$ $$x = 3 - 9$$ $$x = -6$$

• Hatua ya 4: Tafuta $y$ (neno la 3).

  $$y = a_1 + 2d$$ $$y = 3 + 2(-9)$$ $$y = 3 - 18$$ $$y = -15$$

  Kwa mfuatano wa kihesabu, $\boxed{x = -6, y = -15}$.

ii) Mfuatano ni wa kijometri (geometric sequence).
Katika mfuatano wa kijometri, uwiano wa kawaida ($r$) kati ya maneno mfululizo ni sawa.
Maneno ni $a_1 = 3$, $a_2 = x$, $a_3 = y$, $a_4 = -24$.

• Hatua ya 1: Tumia kanuni ya neno la $n$-th katika mfuatano wa kijometri: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$. Kwa neno la 4 ($a_4$):

  $$a_4 = a_1 \cdot r^{4-1}$$ $$-24 = 3 \cdot r^3$$

• Hatua ya 2: Tatua kwa $r$.

  $$\frac{-24}{3} = r^3$$ $$-8 = r^3$$ $$r = \sqrt[3]{-8}$$ $$r = -2$$

• Hatua ya 3: Tafuta $x$ (neno la 2).

  $$x = a_1 \cdot r$$ $$x = 3 \cdot (-2)$$ $$x = -6$$

• Hatua ya 4: Tafuta $y$ (neno la 3).

  $$y = a_1 \cdot r^2$$ $$y = 3 \cdot (-2)^2$$ $$y = 3 \cdot 4$$ $$y = 12$$

  Kwa mfuatano wa kijometri, $\boxed{x = -6, y = 12}$.