Find dy/dx of the following functions. (In other words, find the derivative of y with respect to x).

Question

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Voici les dérivées implicites pour chaque fonction :

1. $y^2 = x$

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ .
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(x)$ $2y \frac{dy}{dx} = 1$
Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .
$\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}}$
2. $3x^2 + y^2 = 14$
Différencier les deux côtés par rapport à $x$ .
$\frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(14)$ $6x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .
$2y \frac{dy}{dx} = -6x$ $\boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{y}}$
3. $(2x-3)^2 + (4y-5)^2 = 10$
Différencier les deux côtés par rapport à $x$ .
$\frac{d}{dx}((2x-3)^2) + \frac{d}{dx}((4y-5)^2) = \frac{d}{dx}(10)$ $2(2x-3) \cdot 2 + 2(4y-5) \cdot 4 \frac{dy}{dx} = 0$ $4(2x-3) + 8(4y-5) \frac{dy}{dx} = 0$
Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .
$8(4y-5) \frac{dy}{dx} = -4(2x-3)$ $\frac{dy}{dx} = \frac{-4(2x-3)}{8(4y-5)}$ $\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{-(2x-3)}{2(4y-5)} = \frac{3-2x}{2(4y-5)}}$
4. $x^2 \sin(x) + y^2 \cos(y) = 1$
Différencier les deux côtés par rapport à $x$ en utilisant la règle du produit et la règle de la chaîne.
$\frac{d}{dx}(x^2 \sin(x)) + \frac{d}{dx}(y^2 \cos(y)) = \frac{d}{dx}(1)$ $(2x \sin(x) + x^2 \cos(x)) + (2y \frac{dy}{dx} \cos(y) + y^2 (-\sin(y) \frac{dy}{dx})) = 0$ $2x \sin(x) + x^2 \cos(x) + (2y \cos(y) - y^2 \sin(y)) \frac{dy}{dx} = 0$
Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .
$(2y \cos(y) - y^2 \sin(y)) \frac{dy}{dx} = -(2x \sin(x) + x^2 \cos(x))$ $\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{-(2x \sin(x) + x^2 \cos(x))}{2y \cos(y) - y^2 \sin(y)} = \frac{2x \sin(x) + x^2 \cos(x)}{y^2 \sin(y) - 2y \cos(y)}}$
5. $x^2 y^2 = 1$
Différencier les deux côtés par rapport à $x$ en utilisant la règle du produit.
$\frac{d}{dx}(x^2 y^2) = \frac{d}{dx}(1)$ $2x y^2 + x^2 (2y \frac{dy}{dx}) = 0$ $2x y^2 + 2x^2 y \frac{dy}{dx} = 0$
Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .
$2x^2 y \frac{dy}{dx} = -2x y^2$ $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x y^2}{2x^2 y}$ $\boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}}$
6. $y^2 \tan(x) = x$
Différencier les deux côtés par rapport à $x$ en utilisant la règle du produit.
$\frac{d}{dx}(y^2 \tan(x)) = \frac{d}{dx}(x)$ $(2y \frac{dy}{dx})\tan(x) + y^2 \sec^2(x) = 1$
Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .
$2y \tan(x) \frac{dy}{dx} = 1 - y^2 \sec^2(x)$ $\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y^2 \sec^2(x)}{2y \tan(x)}}$
7. $4x^2 + 3xy^2 - 6x^2y = y^3$
Différencier chaque terme par rapport à $x$ .
$\frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(3xy^2) - \frac{d}{dx}(6x^2y) = \frac{d}{dx}(y^3)$ $8x + (3y^2 + 3x(2y \frac{dy}{dx})) - (12xy + 6x^2 \frac{dy}{dx}) = 3y^2 \frac{dy}{dx}$ $8x + 3y^2 + 6xy \frac{dy}{dx} - 12xy - 6x^2 \frac{dy}{dx} = 3y^2 \frac{dy}{dx}$
Regrouper les termes avec $\frac{dy}{dx}$ d'un côté.
$6xy \frac{dy}{dx} - 6x^2 \frac{dy}{dx} - 3y^2 \frac{dy}{dx} = 12xy - 8x - 3y^2$ $\frac{dy}{dx}(6xy - 6x^2 - 3y^2) = 12xy - 8x - 3y^2$
Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .
$\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{12xy - 8x - 3y^2}{6xy - 6x^2 - 3y^2}}$
8. $\sqrt{y} + xy^2 = 5$
Différencier les deux côtés par rapport à $x$ .
$\frac{d}{dx}(y^{1/2}) + \frac{d}{dx}(xy^2) = \frac{d}{dx}(5)$ $\frac{1}{2}y^{-1/2} \frac{dy}{dx} + (1 \cdot y^2 + x \cdot 2y \frac{dy}{dx}) = 0$ $\frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} + y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$
Regrouper les termes avec $\frac{dy}{dx}$ .
$\left(\frac{1}{2\sqrt{y}} + 2xy\right) \frac{dy}{dx} = -y^2$ $\left(\frac{1 + 4xy\sqrt{y}}{2\sqrt{y}}\right) \frac{dy}{dx} = -y^2$
Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .
$\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{-2y^2\sqrt{y}}{1 + 4xy\sqrt{y}}}$
9. $x\sqrt{y+2} = 4$
Différencier les deux côtés par rapport à $x$ en utilisant la règle du produit.
$\frac{d}{dx}(x(y+2)^{1/2}) = \frac{d}{dx}(4)$ $1 \cdot \sqrt{y+2} + x \cdot \frac{1}{2}(y+2)^{-1/2} \frac{dy}{dx} = 0$ $\sqrt{y+2} + \frac{x}{2\sqrt{y+2}} \frac{dy}{dx} = 0$
Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .
$\frac{x}{2\sqrt{y+2}} \frac{dy}{dx} = -\sqrt{y+2}$ $\frac{dy}{dx} = -\sqrt{y+2} \cdot \frac{2\sqrt{y+2}}{x}$ $\boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{2(y+2)}{x}}$
10. $x = \sqrt{\tan(y)}$
Élever au carré les deux côtés et différencier par rapport à $x$ .
$x^2 = \tan(y)$ $\frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(\tan(y))$ $2x = \sec^2(y) \frac{dy}{dx}$
Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .
$\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{\sec^2(y)}}$
On peut aussi écrire $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{1+\tan^2(y)} = \frac{2x}{1+(x^2)^2} = \frac{2x}{1+x^4}$ .

11. $x = \sqrt{\tan(y^2)}$
Élever au carré les deux côtés et différencier par rapport à $x$ .
$x^2 = \tan(y^2)$ $\frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(\tan(y^2))$ $2x = \sec^2(y^2) \cdot (2y \frac{dy}{dx})$
Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .
$2x = 2y \sec^2(y^2) \frac{dy}{dx}$ $\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y \sec^2(y^2)}}$

Find dy/dx of the following functions. (In other words, find the derivative of y with respect to x).

Step-by-step solution

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ .

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ .

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ .

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ en utilisant la règle du produit et la règle de la chaîne.

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ en utilisant la règle du produit.

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ en utilisant la règle du produit.

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier chaque terme par rapport à $x$ .

Regrouper les termes avec $\frac{dy}{dx}$ d'un côté.

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ .

Regrouper les termes avec $\frac{dy}{dx}$ .

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ en utilisant la règle du produit.

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Élever au carré les deux côtés et différencier par rapport à $x$ .

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Élever au carré les deux côtés et différencier par rapport à $x$ .

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

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Step-by-step solution

Différencier les deux côtés par rapport à xxx.

Résoudre pour dydx\frac{dy}{dx}dxdy​.

Différencier les deux côtés par rapport à xxx.

Résoudre pour dydx\frac{dy}{dx}dxdy​.

Différencier les deux côtés par rapport à xxx.

Résoudre pour dydx\frac{dy}{dx}dxdy​.

Différencier les deux côtés par rapport à xxx en utilisant la règle du produit et la règle de la chaîne.

Résoudre pour dydx\frac{dy}{dx}dxdy​.

Différencier les deux côtés par rapport à xxx en utilisant la règle du produit.

Résoudre pour dydx\frac{dy}{dx}dxdy​.

Différencier les deux côtés par rapport à xxx en utilisant la règle du produit.

Résoudre pour dydx\frac{dy}{dx}dxdy​.

Différencier chaque terme par rapport à xxx.

Regrouper les termes avec dydx\frac{dy}{dx}dxdy​ d'un côté.

Résoudre pour dydx\frac{dy}{dx}dxdy​.

Différencier les deux côtés par rapport à xxx.

Regrouper les termes avec dydx\frac{dy}{dx}dxdy​.

Résoudre pour dydx\frac{dy}{dx}dxdy​.

Différencier les deux côtés par rapport à xxx en utilisant la règle du produit.

Résoudre pour dydx\frac{dy}{dx}dxdy​.

Élever au carré les deux côtés et différencier par rapport à xxx.

Résoudre pour dydx\frac{dy}{dx}dxdy​.

Élever au carré les deux côtés et différencier par rapport à xxx.

Résoudre pour dydx\frac{dy}{dx}dxdy​.

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Différencier les deux côtés par rapport à $x$ .

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Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ en utilisant la règle du produit et la règle de la chaîne.

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ en utilisant la règle du produit.

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ en utilisant la règle du produit.

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier chaque terme par rapport à $x$ .

Regrouper les termes avec $\frac{dy}{dx}$ d'un côté.

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ .

Regrouper les termes avec $\frac{dy}{dx}$ .

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Différencier les deux côtés par rapport à $x$ en utilisant la règle du produit.

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Élever au carré les deux côtés et différencier par rapport à $x$ .

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .

Élever au carré les deux côtés et différencier par rapport à $x$ .

Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ .