This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici les dérivées implicites pour chaque fonction : 1. y^2 = x Étape 1 : Différencier les deux côtés par rapport à x. (d)/(dx)(y^2) = (d)/(dx)(x) 2y (dy)/(dx) = 1 Étape 2 : Résoudre pour (dy)/(dx). (dy)/(dx) = (1)/(2y) 2. 3x^2 + y^2 = 14 Étape 1 : Différencier les deux côtés par rapport à x. (d)/(dx)(3x^2) + (d)/(dx)(y^2) = (d)/(dx)(14) 6x + 2y (dy)/(dx) = 0 Étape 2 : Résoudre pour (dy)/(dx). 2y (dy)/(dx) = -6x (dy)/(dx) = -(3x)/(y) 3. (2x-3)^2 + (4y-5)^2 = 10 Étape 1 : Différencier les deux côtés par rapport à x. (d)/(dx)((2x-3)^2) + (d)/(dx)((4y-5)^2) = (d)/(dx)(10) 2(2x-3) · 2 + 2(4y-5) · 4 (dy)/(dx) = 0 4(2x-3) + 8(4y-5) (dy)/(dx) = 0 Étape 2 : Résoudre pour (dy)/(dx). 8(4y-5) (dy)/(dx) = -4(2x-3) (dy)/(dx) = (-4(2x-3))/(8(4y-5)) (dy)/(dx) = (-(2x-3))/(2(4y-5)) = (3-2x)/(2(4y-5)) 4. x^2 (x) + y^2 (y) = 1 Étape 1 : Différencier les deux côtés par rapport à x en utilisant la règle du produit et la règle de la chaîne. (d)/(dx)(x^2 (x)) + (d)/(dx)(y^2 (y)) = (d)/(dx)(1) (2x (x) + x^2 (x)) + (2y (dy)/(dx) (y) + y^2 (-(y) (dy)/(dx))) = 0 2x (x) + x^2 (x) + (2y (y) - y^2 (y)) (dy)/(dx) = 0 Étape 2 : Résoudre pour (dy)/(dx). (2y (y) - y^2 (y)) (dy)/(dx) = -(2x (x) + x^2 (x)) (dy)/(dx) = (-(2x (x) + x^2 (x)))/(2y (y) - y^2 (y)) = (2x (x) + x^2 (x))/(y^2 (y) - 2y (y)) 5. x^2 y^2 = 1 Étape 1 : Différencier les deux côtés par rapport à x en utilisant la règle du produit. (d)/(dx)(x^2 y^2) = (d)/(dx)(1) 2x y^2 + x^2 (2y (dy)/(dx)) = 0 2x y^2 + 2x^2 y (dy)/(dx) = 0 Étape 2 : Résoudre pour (dy)/(dx). 2x^2 y (dy)/(dx) = -2x y^2 (dy)/(dx) = (-2x y^2)/(2x^2 y) (dy)/(dx) = -(y)/(x) 6. y^2 (x) = x Étape 1 : Différencier les deux côtés par rapport à x en utilisant la règle du produit. (d)/(dx)(y^2 (x)) = (d)/(dx)(x) (2y (dy)/(dx))(x) + y^2 ^2(x) = 1 Étape 2 : Résoudre pour (dy)/(dx). 2y (x) (dy)/(dx) = 1 - y^2 ^2(x) (dy)/(dx) = (1 - y^2 ^2(x))/(2y (x)) 7. 4x^2 + 3xy^2 - 6x^2y = y^3 Étape 1 : Différencier chaque terme par rapport à x. (d)/(dx)(4x^2) + (d)/(dx)(3xy^2) - (d)/(dx)(6x^2y) = (d)/(dx)(y^3) 8x + (3y^2 + 3x(2y (dy)/(dx))) - (12xy + 6x^2 (dy)/(dx)) = 3y^2 (dy)/(dx) 8x + 3y^2 + 6xy (dy)/(dx) - 12xy - 6x^2 (dy)/(dx) = 3y^2 (dy)/(dx) Étape 2 : Regrouper les termes avec (dy)/(dx) d'un côté. 6xy (dy)/(dx) - 6x^2 (dy)/(dx) - 3y^2 (dy)/(dx) = 12xy - 8x - 3y^2 (dy)/(dx)(6xy - 6x^2 - 3y^2) = 12xy - 8x - 3y^2 Étape 3 : Résoudre pour (dy)/(dx). (dy)/(dx) = (12xy - 8x - 3y^2)/(6xy - 6x^2 - 3y^2) 8. sqrt(y) + xy^2 = 5 Étape 1 : Différencier les deux côtés par rapport à x. (d)/(dx)(y^1/2) + (d)/(dx)(xy^2) = (d)/(dx)(5) (1)/(2)y^-1/2 (dy)/(dx) + (1 · y^2 + x · 2y (dy)/(dx)) = 0 (1)/(2sqrt(y)) (dy)/(dx) + y^2 + 2xy (dy)/(dx) = 0 Étape 2 : Regrouper les termes avec (dy)/(dx). ((1)/(2sqrt(y)) + 2xy) (dy)/(dx) = -y^2 (1 + 4xysqrt(y)2sqrt(y)) (dy)/(dx) = -y^2 Étape 3 : Résoudre pour (dy)/(dx). (dy)/(dx) = -2y^2sqrt(y)1 + 4xysqrt(y) 9. xsqrt(y+2) = 4 Étape 1 : Différencier les deux côtés par rapport à x en utilisant la règle du produit. (d)/(dx)(x(y+2)^1/2) = (d)/(dx)(4) 1 · sqrt(y+2) + x · (1)/(2)(y+2)^-1/2 (dy)/(dx) = 0 sqrt(y+2) + (x)/(2sqrt(y+2)) (dy)/(dx) = 0 Étape 2 : Résoudre pour (dy)/(dx). (x)/(2sqrt(y+2)) (dy)/(dx) = -sqrt(y+2) (dy)/(dx) = -sqrt(y+2) · 2sqrt(y+2)x (dy)/(dx) = -(2(y+2))/(x) 10. x = sqrt((y)) Étape 1 : Élever au carré les deux côtés et différencier par rapport à x. x^2 = (y) (d)/(dx)(x^2) = (d)/(dx)((y)) 2x = ^2(y) (dy)/(dx) Étape 2 : Résoudre pour (dy)/(dx). (dy)/(dx) = (2x)/(^2(y)) On peut aussi écrire (dy)/(dx) = (2x)/(1+^2(y)) = (2x)/(1+(x^2)^2) = (2x)/(1+x^4). 11. x = sqrt((y^2)) Étape 1 : Élever au carré les deux côtés et différencier par rapport à x. x^2 = (y^2) (d)/(dx)(x^2) = (d)/(dx)((y^2)) 2x = ^2(y^2) · (2y (dy)/(dx)) Étape 2 : Résoudre pour (dy)/(dx). 2x = 2y ^2(y^2) (dy)/(dx) (dy)/(dx) = (x)/(y ^2(y^2)) That's 2 down. 3 left today — send the next one.