यदि रैखिक अवकल समीकरण dy/dx2 + P dy/dx + Qy = R के पूरक फलन का भाग y=e^mx हो, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

दिया गया अवकल समीकरण है:

$$\frac{d^2y}{dx^2} + P\frac{dy}{dx} + Qy = R$$

पूरक फलन (complementary function) अवकल समीकरण के समघातीय भाग (homogeneous part) का हल होता है, जो कि $R=0$ होने पर प्राप्त होता है:

$$\frac{d^2y}{dx^2} + P\frac{dy}{dx} + Qy = 0$$

यदि $y = e^{mx}$ इस समघातीय समीकरण का एक हल है, तो हमें इसके प्रथम और द्वितीय अवकलज की आवश्यकता होगी:
प्रथम अवकलज:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{mx}) = me^{mx}$$

द्वितीय अवकलज:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(me^{mx}) = m^2e^{mx}$$

इन मानों को समघातीय अवकल समीकरण में रखने पर:

$$m^2e^{mx} + P(me^{mx}) + Q(e^{mx}) = 0$$

$e^{mx}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:

$$e^{mx}(m^2 + Pm + Q) = 0$$

चूंकि $e^{mx}$ कभी भी शून्य नहीं हो सकता, इसलिए कोष्ठक के अंदर का व्यंजक शून्य होना चाहिए:

$$m^2 + Pm + Q = 0$$

यह दिए गए अवकल समीकरण का अभिलाक्षणिक समीकरण (characteristic equation) है।

हमें $m^2 + Pm + Q = 0$ प्राप्त हुआ है, जो विकल्प (4) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(4) } m^2 + mP + Q = 0$.