Exercice 1: 1°/a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la courbe C. 1°/b) Déterminer les variations de la fonction f. 2°/a) Déterminer graphiquement f(3). 2°/b) Prouver que f(x) =

Voici la résolution de l'Exercice 1 : 1°/a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la courbe C. La courbe C est une parabole. Son sommet est le point S(1, 0). Son axe de symétrie est la droite verticale d'équation x=1. 1°/b) Déterminer les variations de la fonction f. La fonction f est décroissante sur l'intervalle (-, 1]. La fonction f est croissante sur l'intervalle [1, +). Le minimum de la fonction f est 0, atteint en x=1. 2°/a) Déterminer graphiquement f(3). En lisant sur le graphique, pour x=3, la valeur correspondante sur la courbe est y=1. f(3) = 1 2°/b) Prouver que la fonction f est définie sur R par f(x) = (1)/(4)(x-1)^2. La fonction f(x) = (1)/(4)(x-1)^2 est une fonction polynomiale (quadratique). Les fonctions polynomiales sont définies pour tous les nombres réels. Ainsi, le domaine de définition de f est R. De plus, cette expression est de la forme a(x-h)^2+k avec a=(1)/(4), h=1, k=0. Cela correspond à une parabole de sommet (1,0) s'ouvrant vers le haut, ce qui est cohérent avec la courbe C donnée. 2°/c) Déterminer les coordonnées du point A et du point B. • Pour le point A : Graphiquement, A est l'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées. Ses coordonnées sont (0, (1)/(4)). Vérifions avec l'expression de f(x): f(0) = (1)/(4)(0-1)^2 = (1)/(4)(-1)^2 = (1)/(4) × 1 = (1)/(4) Donc, A = (0, (1)/(4)). • Pour le point B : Graphiquement, le point B a une ordonnée y=2. Cherchons son abscisse en utilisant f(x)=2: (1)/(4)(x-1)^2 = 2 (x-1)^2 = 8 x-1 = ±sqrt(8) x-1 = ± 2sqrt(2) x = 1 ± 2sqrt(2) Sur le graphique, le point B est à droite du sommet, donc son abscisse est positive. Nous prenons la valeur x = 1+2sqrt(2). Donc, B = (1+2sqrt(2), 2). 3°/a) Vérifier que la droite (AB) d'équation (AB): y = 2sqrt(2)-14x + (1)/(4). Pour vérifier l'équation de la droite (AB), nous allons substituer les coordonnées des points A et B dans l'équation donnée. • Pour le point A(0, (1)/(4)) : Substituons x=0 dans l'équation de la droite : y = 2sqrt(2)-14(0) + 1