Exercice 1: 1°/a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la courbe C. 1°/b) Déterminer les variations de la fonction f. 2°/a) Déterminer graphiquement f(3). 2°/b) Prouver que f(x) =

Voici la résolution de l'Exercice 1 :

1°/a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la courbe $\mathcal{C}$.
La courbe $\mathcal{C}$ est une parabole.
Son sommet est le point $S(1, 0)$.
Son axe de symétrie est la droite verticale d'équation $x=1$.

1°/b) Déterminer les variations de la fonction $f$.
La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $(-\infty, 1]$.
La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[1, +\infty)$.
Le minimum de la fonction $f$ est 0, atteint en $x=1$.

2°/a) Déterminer graphiquement $f(3)$.
En lisant sur le graphique, pour $x=3$, la valeur correspondante sur la courbe est $y=1$.

$$f(3) = \boxed{1}$$

2°/b) Prouver que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{1}{4}(x-1)^2$.
La fonction $f(x) = \frac{1}{4}(x-1)^2$ est une fonction polynomiale (quadratique). Les fonctions polynomiales sont définies pour tous les nombres réels.
Ainsi, le domaine de définition de $f$ est $\mathbb{R}$.
De plus, cette expression est de la forme $a(x-h)^2+k$ avec $a=\frac{1}{4}$, $h=1$, $k=0$. Cela correspond à une parabole de sommet $(1,0)$ s'ouvrant vers le haut, ce qui est cohérent avec la courbe $\mathcal{C}$ donnée.

2°/c) Déterminer les coordonnées du point A et du point B.

• Pour le point A : Graphiquement, A est l'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées. Ses coordonnées sont $(0, \frac{1}{4})$. Vérifions avec l'expression de $f(x)$:

$$f(0) = \frac{1}{4}(0-1)^2 = \frac{1}{4}(-1)^2 = \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}$$

Donc, $A = \boxed{\left(0, \frac{1}{4}\right)}$.

• Pour le point B : Graphiquement, le point B a une ordonnée $y=2$. Cherchons son abscisse en utilisant $f(x)=2$:

$$\frac{1}{4}(x-1)^2 = 2$$ $$(x-1)^2 = 8$$ $$x-1 = \pm\sqrt{8}$$ $$x-1 = \pm 2\sqrt{2}$$ $$x = 1 \pm 2\sqrt{2}$$

Sur le graphique, le point B est à droite du sommet, donc son abscisse est positive. Nous prenons la valeur $x = 1+2\sqrt{2}$. Donc, $B = \boxed{\left(1+2\sqrt{2}, 2\right)}$.

3°/a) Vérifier que la droite $(AB)$ d'équation $(AB): y = \frac{2\sqrt{2}-1}{4}x + \frac{1}{4}$.
Pour vérifier l'équation de la droite $(AB)$, nous allons substituer les coordonnées des points A et B dans l'équation donnée.

• Pour le point $A(0, \frac{1}{4})$ : Substituons $x=0$ dans l'équation de la droite :

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