Exercice 1 : 1. Coordonnées des points M(1; 2) et A(5; 4). 4. Déterminer les coordonnées du vecteur AM. 5. Calculer la distance AM. 6. Déterminer les coordonnées du point K milieu de [AM]. Exercice 2

Exercice 1:

1. Les coordonnées des points sont:

   • $M(1; 2)$
   • $A(5; 4)$
   • $O(0; 0)$
   • Le point associé au vecteur $\vec{I}$ est $(1; 0)$.
   • Le point associé au vecteur $\vec{J}$ est $(0; 1)$.

2. En lisant sur le graphique:

   • $R(-4; 3)$
   • $V(-2; -2)$
   • $T(3; -3)$

3. Les coordonnées du vecteur $\vec{AM}$ sont:

   • $\vec{AM}(x_M - x_A; y_M - y_A)$

4. Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{AM}$. Les points sont $A(5; 4)$ et $M(1; 2)$.

   $$\vec{AM} = (x_M - x_A; y_M - y_A) = (1 - 5; 2 - 4) = (-4; -2)$$

   Les coordonnées du vecteur $\vec{AM}$ sont $\boxed{(-4; -2)}$.

5. Calculer la distance $AM$.

   $$AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2}$$ $$AM = \sqrt{(1 - 5)^2 + (2 - 4)^2}$$ $$AM = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2}$$ $$AM = \sqrt{16 + 4}$$ $$AM = \sqrt{20}$$ $$AM = \sqrt{4 \times 5}$$ $$AM = \boxed{2\sqrt{5}}$$

6. Déterminer les coordonnées du point $K$ milieu du segment $[AM]$. Les points sont $A(5; 4)$ et $M(1; 2)$.

   $$K_x = \frac{x_A + x_M}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$K_y = \frac{y_A + y_M}{2} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

   Les coordonnées du point $K$ sont $\boxed{(3; 3)}$.

Exercice 2:

On considère les points $B(1; 8)$ et $C(2; 11)$.

1. Vérifier que l'équation réduite de la droite $(BC)$ est: $y = 3x + 5$.

   • Calculer la pente $m$ de la droite $(BC)$: $$m = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{11 - 8}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$$
   • L'équation de la droite est de la forme $y = 3x + p$.
   • Utiliser le point $B(1; 8)$ pour trouver $p$: $$8 = 3(1) + p$$ $$8 = 3 + p$$ $$p = 8 - 3 = 5$$
   • L'équation réduite de la droite $(BC)$ est $y = 3x + 5$. ✅ Vérifié.

2. Le point $G(20; 65)$ appartient-il à la droite $(BC)$? Substituer les coordonnées de $G$ dans l'équation de $(BC)$:

   $$65 = 3(20) + 5$$