Exercice 2: 1. Tracer un triangle ABC rectangle en A avec AB=3cm et AC=4cm et I est le milieu de [BC]. 2. Calculer BC et tracer le cercle (E) circonscrit au triangle ABC. 3. Choisir un point M sur le

تمام، سأكمل حل التمارين بدقة.

Exercice 2:

1. Tracer un triangle ABC rectangle en A avec AB=3cm et AC=4cm et I est le milieu de [BC].

   • ارسم نقطة A.
   • من A، ارسم قطعة مستقيمة AB بطول $3 \text{ cm}$.
   • من A، ارسم قطعة مستقيمة AC بطول $4 \text{ cm}$ بحيث تكون متعامدة مع AB (الزاوية $\widehat{BAC}$ قائمة).
   • صل بين B و C لتكوين المثلث ABC.
   • حدد النقطة I كمنتصف القطعة [BC].

2. Calculer BC et tracer le cercle ($\mathcal{E}$) circonscrit au triangle ABC.

   • حساب BC: بما أن المثلث ABC قائم الزاوية في A، نستخدم مبرهنة فيثاغورس: $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$ $$BC^2 = 3^2 + 4^2$$ $$BC^2 = 9 + 16$$ $$BC^2 = 25$$ $$BC = \sqrt{25}$$ $$\boxed{BC = 5 \text{ cm}}$$
   • رسم الدائرة ($\mathcal{E}$) المحيطة بالمثلث ABC: في المثلث القائم الزاوية، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر. إذن، النقطة I (منتصف [BC]) هي مركز الدائرة ($\mathcal{E}$). نصف قطر الدائرة هو $R = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm}$. ارسم دائرة مركزها I ونصف قطرها $2.5 \text{ cm}$.

3. Choisir un point M sur le cercle ($\mathcal{E}$) avec $M \ne B$ et $M \ne C$. Quel est la nature du triangle MBC ? Justifier votre réponse.

   • طبيعة المثلث MBC: المثلث MBC هو مثلث قائم الزاوية في M.
   • التبرير: بما أن النقطة M تقع على الدائرة ($\mathcal{E}$) و [BC] هو قطر هذه الدائرة (لأن I منتصف [BC] ومركز الدائرة)، فإن الزاوية $\widehat{BMC}$ هي زاوية محيطية تحصر نصف الدائرة. أي زاوية محيطية تحصر نصف دائرة تكون قائمة.

4. Calculer $\cos(\widehat{ABC})$ et $\cos(\widehat{ACB})$.

   • حساب $\cos(\widehat{ABC})$: في المثلث ABC القائم في A: $$\cos(\widehat{ABC}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{AB}{BC}$$ $$\cos(\widehat{ABC}) = \frac{3}{5}$$ $$\boxed{\cos(\widehat{ABC}) = 0.6}$$
   • حساب $\cos(\widehat{ACB})$: في المثلث ABC القائم في A: $$\cos(\widehat{ACB}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{AC}{BC}$$ $$\cos(\widehat{ACB}) = \frac{4}{5}$$ $$\boxed{\cos(\widehat{ACB}) = 0.8}$$

Exercice 3:

1. Tracer un parallélogramme ABCD du centre O.

   • ارسم أربع نقاط A, B, C, D بحيث يكون الضلع AB موازياً لـ DC و AD موازياً لـ BC.
   • ارسم القطرين AC و BD. نقطة تقاطعهما هي O (مركز متوازي الأضلاع).

2. Compléter : $\vec{AO} + \vec{OD} = \dots$; $\vec{AB} + \vec{AD} = \dots$

   • باستخدام علاقة شال: $$\vec{AO} + \vec{OD} = \boxed{\vec{AD}}$$
   • في متوازي الأضلاع ABCD، مجموع متجهين متجاورين ينطلقان من نفس الرأس هو المتجه القطري الذي ينطلق من نفس الرأس: $$\vec{AB} + \vec{AD} = \boxed{\vec{AC}}$$

3. Simplifier : $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}$; $\vec{DC} - \vec{CB}$

   • تبسيط $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}$: بما أن O هو مركز متوازي الأضلاع، فإن O هي منتصف كل من القطرين AC و BD. إذن، $\vec{OA} = -\vec{OC}$ و $\vec{OB} = -\vec{OD}$. $$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = (\vec{OA} + \vec{OC}) + (\vec{OB} + \vec{OD})$$ $$= \vec{0} + \vec{0} = \boxed{\vec{0}}$$
   • تبسيط $\vec{DC} - \vec{CB}$: نعلم أن $-\vec{CB} = \vec{BC}$. $$\vec{DC} - \vec{CB} = \vec{DC} + \vec{BC}$$ باستخدام علاقة شال، يمكننا إعادة ترتيب المتجهات: $$= \vec{BC} + \vec{DC}$$ في متوازي الأضلاع ABCD، $\vec{BC} = \vec{AD}$. $$= \vec{AD} + \vec{DC}$$ $$= \boxed{\vec{AC}}$$

4. Tracer le point M l'image de O par la translation qui transforme A en B.

   • التحويل الذي يحول A إلى B هو إزاحة بالمتجه $\vec{AB}$.
   • النقطة M هي صورة O بهذه الإزاحة، مما يعني أن $\vec{OM} = \vec{AB}$.
   • لتعيين M: ارسم متجهاً يبدأ من O وله نفس اتجاه وطول المتجه $\vec{AB}$. النقطة النهائية لهذا المتجه هي M.

5. Tracer la somme : $\vec{AD} + \vec{AC}$

   • لتعيين مجموع المتجهين $\vec{AD}$ و $\vec{AC}$ اللذين ينطلقان من نفس النقطة A، نستخدم قاعدة متوازي الأضلاع.
   • من النقطة C، ارسم متجهاً مساوياً للمتجه $\vec{AD}$ (أي له نفس الطول والاتجاه). لتكن النقطة النهائية لهذا المتجه E.
   • المتجه $\vec{AE}$ هو مجموع المتجهين $\vec{AD} + \vec{AC}$.
   • (بمعنى آخر، أكمل متوازي الأضلاع ACED حيث $\vec{CE} = \vec{AD}$. المتجه القطري $\vec{AE}$ هو المجموع).