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Exercice 2: Calculer la longueur moyenne d'une aiguille et donner les effectifs cumulés croissants et décroissants.

Mathematics

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9 steps

Voici la résolution de l'Exercice 2.

1. Calculer la longueur moyenne d'une aiguille de cette boîte.

Pour calculer la longueur moyenne (ou moyenne arithmétique) pour des données groupées, on utilise la formule :

xˉ=∑i=1kxiniN\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}

où xix_i est le centre de chaque classe, nin_i est l'effectif de chaque classe et NN est l'effectif total.

  1. Calculer le centre de chaque classe (xix_i).

    • Pour [0,4[[0, 4[: x1=0+42=2x_1 = \frac{0+4}{2} = 2
    • Pour [4,8[[4, 8[: x2=4+82=6x_2 = \frac{4+8}{2} = 6
    • Pour [8,12[[8, 12[: x3=8+122=10x_3 = \frac{8+12}{2} = 10
    • Pour [12,16[[12, 16[: x4=12+162=14x_4 = \frac{12+16}{2} = 14
    • Pour [16,20][16, 20]: x5=16+202=18x_5 = \frac{16+20}{2} = 18

  2. Calculer l'effectif total (NN).

    N=5+14+20+7+4=50N = 5 + 14 + 20 + 7 + 4 = 50

  3. Calculer la somme des produits xinix_i n_i.

    ∑xini=(2×5)+(6×14)+(10×20)+(14×7)+(18×4)\sum x_i n_i = (2 \times 5) + (6 \times 14) + (10 \times 20) + (14 \times 7) + (18 \times 4) ∑xini=10+84+200+98+72\sum x_i n_i = 10 + 84 + 200 + 98 + 72 ∑xini=464\sum x_i n_i = 464

  4. Calculer la longueur moyenne.

    xˉ=46450=9,28\bar{x} = \frac{464}{50} = 9,28

    La longueur moyenne d'une aiguille est de 9,28 mm\boxed{\text{9,28 mm}}.

    2.a. Donner dans un même tableau les effectifs cumulés croissants et les effectifs cumulés décroissants associés à cette série statistique.

  5. Calculer les effectifs cumulés croissants (ECC).

    • Pour [0,4[[0, 4[: 5
    • Pour [4,8[[4, 8[: 5+14=195 + 14 = 19
    • Pour [8,12[[8, 12[: 19+20=3919 + 20 = 39
    • Pour [12,16[[12, 16[: 39+7=4639 + 7 = 46
    • Pour [16,20][16, 20]: 46+4=5046 + 4 = 50

  6. Calculer les effectifs cumulés décroissants (ECD).

    • Pour [0,4[[0, 4[: 50
    • Pour [4,8[[4, 8[: 50−5=4550 - 5 = 45
    • Pour [8,12[[8, 12[: 45−14=3145 - 14 = 31
    • Pour [12,16[[12, 16[: 31−20=1131 - 20 = 11
    • Pour [16,20][16, 20]: 11−7=411 - 7 = 4

  7. Présenter les résultats dans un tableau.

    Longueur en mmEffectifs (nin_i)Effectifs Cumulés Croissants (ECC)Effectifs Cumulés Décroissants (ECD)
    [0,4[[0, 4[5550
    [4,8[[4, 8[141945
    [8,12[[8, 12[203931
    [12,16[[12, 16[74611
    [16,20][16, 20]4504

    2.b. En déduire l'intervalle médian de cette série.

  8. Déterminer la position de la médiane.

    L'effectif total est N=50N = 50. La position de la médiane est N/2=50/2=25N/2 = 50/2 = 25.

  9. Identifier l'intervalle médian à l'aide des effectifs cumulés croissants.

    On cherche la première classe dont l'effectif cumulé croissant est supérieur ou égal à 25.

    • ECC pour [0,4[[0, 4[ est 5.
    • ECC pour [4,8[[4, 8[ est 19.
    • ECC pour [8,12[[8, 12[ est 39. Puisque 25 est compris entre 19 et 39, la 25ème valeur se trouve dans la classe [8,12[[8, 12[.

    L'intervalle médian de cette série est [8,12[\boxed{[8, 12[}.

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