Exercice 8: Placer les points A, B et C. Déterminer les coordonnées du vecteur AB, puis montrer que AB = 5. Montrer que le triangle ABC est isocèle en B.

Pour cette étape, il faut tracer un repère orthonormé $(O, I, J)$ et y placer les points $A(0; -2)$, $B(3; 2)$ et $C(6; -2)$.

• Coordonnées du vecteur $\vec{AB}$: Les coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ sont données par $(x_B - x_A; y_B - y_A)$. Avec $A(0; -2)$ et $B(3; 2)$:

  $$\vec{AB} = (3 - 0; 2 - (-2)) = (3; 2 + 2) = (3; 4)$$

  Les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont $\boxed{(3; 4)}$.

• Montrer que $AB = 5$: La longueur d'un segment $AB$ est donnée par la formule $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

  $$AB = \sqrt{(3)^2 + (4)^2}$$ $$AB = \sqrt{9 + 16}$$ $$AB = \sqrt{25}$$ $$AB = 5$$

  Nous avons bien montré que $AB = \boxed{5}$.

Un triangle est isocèle en B si les longueurs des côtés $BA$ et $BC$ sont égales. Nous savons déjà que $AB = 5$. Calculons la longueur $BC$.

• Coordonnées du vecteur $\vec{BC}$: Avec $B(3; 2)$ et $C(6; -2)$: $$\vec{BC} = (6 - 3; -2 - 2) = (3; -4)$$
• Longueur $BC$: $$BC = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$$ $$BC = \sqrt{9 + 16}$$ $$BC = \sqrt{25}$$ $$BC = 5$$

Puisque $AB = 5$ et $BC = 5$, alors $AB = BC$. Donc, le triangle $ABC$ est isocèle en $\boxed{B}$.

Les coordonnées du milieu $M$ d'un segment $[AB]$ sont données par $M\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.
Avec $A(0; -2)$ et $B(3; 2)$:

• Coordonnée $x_M$: $$x_M = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2}$$
• Coordonnée $y_M$: $$y_M = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$$

Les coordonnées du milieu de $[AB]$ sont donc $M\left(\frac{3}{2}; 0\right)$. Le point $M\left(\frac{3}{2}; 0\right)$ est bien le milieu du segment $\boxed{[AB]}$.