EXERCICE III Une urne contient 12 jetons indiscernables au toucher dont 6 jaunes, 3 verts et 3 rouges. a) Définir la fonction de réparation F de X et la représenter graphiquement dans un repère orthogonal (0, i, j). Unités : ||i = 1 cm; || j = 1 cm.

Les coordonnées du point moyen G sont $\boxed{G(4, 395)}$.

2°/ b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$.
Les sommes données sont :
$\sum x_i = 28$
$\sum y_i = 2765$
$\sum x_i^2 = 140$
$\sum y_i^2 = 1093393$
$\sum x_i y_i = 11241$
$n = 7$

Arrondi à $10^{-2}$ près : le coefficient de corrélation linéaire est $\boxed{r \approx 0.98}$.

2°/ c) Interpréter ce résultat.
Puisque $r \approx 0.98$ est très proche de 1, il existe une très forte corrélation linéaire positive entre le rang du mois ($x$) et les dépenses mensuelles ($y$). Cela signifie que les dépenses de la famille Rakoto ont tendance à augmenter de manière quasi linéaire au fil des mois.

3°/ Par la méthode des moindres carrés, donner l'équation de la droite de régression (D) de $y$ en $x$. Tracer cette droite.
L'équation de la droite de régression est de la forme $y = ax + b$.

Arrondi à $10^{-2}$ près : $a \approx 6.46$.

Arrondi à $10^{-2}$ près : $b \approx 369.14$.

L'équation de la droite de régression (D) est $\boxed{y = 6.46x + 369.14}$.

Pour tracer la droite, utilisez le point moyen $G(4, 395)$ et un autre point, par exemple pour $x=1$: $y = 6.46(1) + 369.14 = 375.6$. Donc le point $(1, 375.6)$. Tracez la droite passant par ces deux points sur le nuage de points.

4°/ En utilisant la droite (D), donner une estimation des dépenses de la famille Rakoto pour le mois d'Octobre 2000.
Octobre est le 10ème mois, donc $x = 10$.

L'estimation des dépenses pour Octobre 2000 est de $\boxed{433.74 \text{ mille francs}}$.

Ceci peut être (3J) ou (3V) ou (3R).

• Nombre de façons de tirer 3J : $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
• Nombre de façons de tirer 3V : $\binom{3}{3} = 1$.
• Nombre de façons de tirer 3R : $\binom{3}{3} = 1$. Le nombre total de cas favorables pour $X=1$ est $20 + 1 + 1 = 22$.

Ceci signifie (1J et 1V et 1R).
Le nombre de cas favorables est $\binom{6}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} = 6 \times 3 \times 3 = 54$.

Ceci signifie qu'exactement deux jetons sont d'une couleur et le troisième est d'une couleur différente.
Les combinaisons possibles sont :

• (2J, 1V) : $\binom{6}{2} \times \binom{3}{1} = 15 \times 3 = 45$.
• (2J, 1R) : $\binom{6}{2} \times \binom{3}{1} = 15 \times 3 = 45$.
• (2V, 1J) : $\binom{3}{2} \times \binom{6}{1} = 3 \times 6 = 18$.
• (2V, 1R) : $\binom{3}{2} \times \binom{3}{1} = 3 \times 3 = 9$.
• (2R, 1J) : $\binom{3}{2} \times \binom{6}{1} = 3 \times 6 = 18$.
• (2R, 1V) : $\binom{3}{2} \times \binom{3}{1} = 3 \times 3 = 9$. Le nombre total de cas favorables pour $X=2$ est $45 + 45 + 18 + 9 + 18 + 9 = 144$.

La loi de probabilité de X est :

1°/ b) Définir la fonction de répartition F de X et la représenter graphiquement.

• Pour $x < 0$, $F(x) = 0$.
• Pour $0 \le x < 1$, $F(x) = P(X=0) = \frac{27}{110}$.
• Pour $1 \le x < 2$, $F(x) = P(X=0) + P(X=1) = \frac{27}{110} + \frac{11}{110} = \frac{38}{110} = \frac{19}{55}$.
• Pour $x \ge 2$, $F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$.

La fonction de répartition est :

• Tracez un repère orthogonal $(O; \vec{i}, \vec{j})$.
• Sur l'axe des abscisses, 1 unité représente 1 cm. Marquez les points 0, 1, 2.
• Sur l'axe des ordonnées, 1 unité représente 11 cm.
  • La valeur $\frac{27}{110}$ correspond à $\frac{27}{110} \times 11 \text{ cm} = 2.7 \text{ cm}$.
  • La valeur $\frac{19}{55}$ correspond à $\frac{19}{55} \times 11 \text{ cm} = 3.8 \text{ cm}$.
  • La valeur 1 correspond à $1 \times 11 \text{ cm} = 11 \text{ cm}$.
• Le graphique est une fonction en escalier :
  • Une ligne horizontale à $y=0$ pour $x < 0$.
  • Un saut à $x=0$ jusqu'à $y=\frac{27}{110}$. Tracez un segment horizontal de $[0, 1[$ à cette hauteur (point plein en $x=0$, point vide en $x=1$).
  • Un saut à $x=1$ jusqu'à $y=\frac{19}{55}$. Tracez un segment horizontal de $[1, 2[$ à cette hauteur (point plein en $x=1$, point vide en $x=2$).
  • Un saut à $x=2$ jusqu'à $y=1$. Tracez un segment horizontal de $[2, +\infty[$ à cette hauteur (point plein en $x=2$).