EXERCICE III Une urne contient 12 jetons indiscernables au toucher dont 6 jaunes, 3 verts et 3 rouges. a) Définir la fonction de réparation F de X et la représenter graphiquement dans un repère orthogonal (0, i, j). Unités : ||i = 1 cm; || j = 1 cm.

Question

Asked on July 14, 2026Mathematics

This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.

Accepted Answer · 2026-07-14T14:11:20.893Z

Voici la résolution des Exercices II et III. EXERCICE II (5 points) 1°/ Représenter le nuage de points M(x_i, y_i) dans un repère orthogonal. Tracez un axe des abscisses (horizontal) et un axe des ordonnées (vertical). Sur l'axe des abscisses, placez les valeurs x=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. L'unité est 1 cm pour chaque rang de mois. Sur l'axe des ordonnées, placez l'origine à 370. Ensuite, marquez les valeurs 380, 390, 400, 410, 420. L'unité est 1 cm pour 10 000 francs (soit 10 unités sur l'échelle y). Placez les points suivants : (1, 375) (2, 387) (3, 385) (4, 393) (5, 400) (6, 410) (7, 415) 2°/ a) Calculer les coordonnées du point moyen G. Le nombre de points est n=7. Les sommes données sont : x_i = 28 et y_i = 2765. Step 1: Calculer la moyenne des x_i. x = ( x_i)/(n) = (28)/(7) = 4 Step 2: Calculer la moyenne des y_i. y = ( y_i)/(n) = (2765)/(7) = 395 Les coordonnées du point moyen G sont G(4, 395). 2°/ b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r. Les sommes données sont : x_i = 28 y_i = 2765 x_i^2 = 140 y_i^2 = 1093393 x_i y_i = 11241 n = 7 Step 1: Calculer le numérateur de la formule de r. n x_i y_i - ( x_i)( y_i) = 7 × 11241 - 28 × 2765 = 78687 - 77420 = 1267 Step 2: Calculer le premier terme sous la racine du dénominateur. sqrt(n x_i^2 - ( x_i)^2) = sqrt(7 × 140 - (28)^2) = sqrt(980 - 784) = sqrt(196) = 14 Step 3: Calculer le second terme sous la racine du dénominateur. sqrt(n y_i^2 - ( y_i)^2) = sqrt(7 × 1093393 - (2765)^2) = sqrt(7653751 - 7645225) = sqrt(8526) ≈ 92.3363 Step 4: Calculer r. r = (1267)/(14 × sqrt(8526)) ≈ (1267)/(14 × 92.3363) ≈ (1267)/(1292.7082) ≈ 0.9801 Arrondi à 10^-2 près : le coefficient de corrélation linéaire est r ≈ 0.98. 2°/ c) Interpréter ce résultat. Puisque r ≈ 0.98 est très proche de 1, il existe une très forte corrélation linéaire positive entre le rang du mois (x) et les dépenses mensuelles (y). Cela signifie que les dépenses de la famille Rakoto ont tendance à augmenter de manière quasi linéaire au fil des mois. 3°/ Par la méthode des moindres carrés, donner l'équation de la droite de régression (D) de y en x. Tracer cette droite. L'équation de la droite de régression est de la forme y = ax + b. Step 1: Calculer le coefficient directeur a. a = (n x_i y_i - ( x_i)( y_i))/(n x_i^2 - ( x_i)^2) = (1267)/(196) ≈ 6.4642857 Arrondi à 10^-2 près : a ≈ 6.46. Step 2: Calculer l'ordonnée à l'origine b. b = y - ax = 395 - (6.4642857) × 4 = 395 - 25.8571428 = 369.1428572 Arrondi à 10^-2 près : b ≈ 369.14. L'équation de la droite de régression (D) est y = 6.46x + 369.14. Step 3: Tracer la droite (D). Pour tracer la droite, utilisez le point moyen G(4, 395) et un autre point, par exemple pour x=1: y = 6.46(1) + 369.14 = 375.6. Donc le point (1, 375.6). Tracez la droite passant par ces deux points sur le nuage de points. 4°/ En utilisant la droite (D), donner une estimation des dépenses de la famille Rakoto pour le mois d'Octobre 2000. Octobre est le 10ème mois, donc x = 10. Step 1: Substituer x=10 dans l'équation de la droite de régression. y = 6.46(10) + 369.14 y = 64.6 + 369.14 y = 433.74 L'estimation des dépenses pour Octobre 2000 est de 433.74 mille francs. --- EXERCICE III (5 points) Une urne contient 12 jetons : 6 jaunes (J), 3 verts (V), 3 rouges (R). On tire 3 jetons simultanément. Le nombre total de tirages possibles est 123. 123 = (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1) = 2 × 11 × 10 = 220 La variable aléatoire X est définie comme suit : X = 1 si les trois jetons tirés sont de la même couleur. X = 2 si deux jetons seulement sont de la même couleur. X = 0 si les trois jetons tirés sont de trois couleurs différentes. 1°/ a) Déterminer la loi de probabilité de X. Step 1: Calculer P(X=1) (trois jetons de la même couleur). Ceci peut être (3J) ou (3V) ou (3R). Nombre de façons de tirer 3J : 63 = (6 × 5 × 4)/(3 × 2 × 1) = 20. Nombre de façons de tirer 3V : 33 = 1. Nombre de façons de tirer 3R : 33 = 1. Le nombre total de cas favorables pour X=1 est 20 + 1 + 1 = 22. P(X=1) = (22)/(220) = (1)/(10) Step 2: Calculer P(X=0) (trois jetons de trois couleurs différentes). Ceci signifie (1J et 1V et 1R). Le nombre de cas favorables est 61 × 31 × 31 = 6 × 3 × 3 = 54. P(X=0) = (54)/(220) = (27)/(110) Step 3: Calculer P(X=2) (deux jetons seulement sont de la même couleur). Ceci signifie qu'exactement deux jetons sont d'une couleur et le troisième est d'une couleur différente. Les combinaisons possibles sont : (2J, 1V) : 62 × 31 = 15 × 3 = 45. (2J, 1R) : 62 × 31 = 15 × 3 = 45. (2V, 1J) : 32 × 61 = 3 × 6 = 18. (2V, 1R) : 32 × 31 = 3 × 3 = 9. (2R, 1J) : 32 × 61 = 3 × 6 = 18. (2R, 1V) : 32 × 31 = 3 × 3 = 9. Le nombre total de cas favorables pour X=2 est 45 + 45 + 18 + 9 + 18 + 9 = 144. P(X=2) = (144)/(220) = (36)/(55) Step 4: Vérifier que la somme des probabilités est 1. P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = (27)/(110) + (1)/(10) + (36)/(55) = (27)/(110) + (11)/(110) + (72)/(110) = (27 + 11 + 72)/(110) = (110)/(110) = 1 La loi de probabilité de X est : |c|c|c|c| x_i & 0 & 1 & 2 \\ P(X=x_i) & (27)/(110) & (1)/(10) & (36)/(55) \\ 1°/ b) Définir la fonction de répartition F de X et la représenter graphiquement. Step 1: Définir la fonction de répartition F(x) = P(X x). Pour x < 0, F(x) = 0. Pour 0 x < 1, F(x) = P(X=0) = (27)/(110). Pour 1 x < 2, F(x) = P(X=0) + P(X=1) = (27)/(110) + (11)/(110) = (38)/(110) = (19)/(55). Pour x 2, F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1. La fonction de répartition est : F(x) = 0 & si x < 0 \\ (27)/(110) & si 0 x < 1 \\ (19)/(55) & si 1 x < 2 \\ 1 & si x 2 Step 2: Représenter graphiquement F(x). Tracez un repère orthogonal (O; i, j). Sur l'axe des abscisses, 1 unité représente 1 cm. Marquez les points 0, 1, 2. Sur l'axe des ordonnées, 1 unité représente 11 cm. La valeur (27)/(110) correspond à (27)/(110) × 11 cm = 2.7 cm. La valeur (19)/(55) correspond à (19)/(55) × 11 cm = 3.8 cm. La valeur 1 correspond à 1 × 11 cm = 11 cm. Le graphique est une fonction en escalier : Une ligne horizontale à y=0 pour x < 0. Un saut à x=0 jusqu'à y=(27)/(110). Tracez un segment horizontal de [0, 1[ à cette hauteur (point plein en x=0, point vide en x=1). Un saut à x=1 jusqu'à y=(19)/(55). Tracez un segment horizontal de [1, 2[ à cette hauteur (point plein en x=1, point vide en x=2). Un saut à x=2 jusqu'à y=1. Tracez un segment horizontal de [2, +[ à cette hauteur (point plein en x=2). Mándame la siguiente 📸

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Voici la résolution des Exercices II et III. EXERCICE II (5 points) 1°/ Représenter le nuage de points M(x_i, y_i) dans un repère orthogonal. Tracez un axe des abscisses (horizontal) et un axe des ordonnées (vertical). Sur l'axe des abscisses, placez les valeurs x=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. L'unité est 1 cm pour chaque rang de mois. Sur l'axe des ordonnées, placez l'origine à 370. Ensuite, marquez les valeurs 380, 390, 400, 410, 420. L'unité est 1 cm pour 10 000 francs (soit 10 unités sur l'échelle y). Placez les points suivants : (1, 375) (2, 387) (3, 385) (4, 393) (5, 400) (6, 410) (7, 415) 2°/ a) Calculer les coordonnées du point moyen G. Le nombre de points est n=7. Les sommes données sont : x_i = 28 et y_i = 2765. Step 1: Calculer la moyenne des x_i. x = ( x_i)/(n) = (28)/(7) = 4 Step 2: Calculer la moyenne des y_i. y = ( y_i)/(n) = (2765)/(7) = 395 Les coordonnées du point moyen G sont G(4, 395). 2°/ b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r. Les sommes données sont : x_i = 28 y_i = 2765 x_i^2 = 140 y_i^2 = 1093393 x_i y_i = 11241 n = 7 Step 1: Calculer le numérateur de la formule de r. n x_i y_i - ( x_i)( y_i) = 7 × 11241 - 28 × 2765 = 78687 - 77420 = 1267 Step 2: Calculer le premier terme sous la racine du dénominateur. sqrt(n x_i^2 - ( x_i)^2) = sqrt(7 × 140 - (28)^2) = sqrt(980 - 784) = sqrt(196) = 14 Step 3: Calculer le second terme sous la racine du dénominateur. sqrt(n y_i^2 - ( y_i)^2) = sqrt(7 × 1093393 - (2765)^2) = sqrt(7653751 - 7645225) = sqrt(8526) ≈ 92.3363 Step 4: Calculer r. r = (1267)/(14 × sqrt(8526)) ≈ (1267)/(14 × 92.3363) ≈ (1267)/(1292.7082) ≈ 0.9801 Arrondi à 10^-2 près : le coefficient de corrélation linéaire est r ≈ 0.98. 2°/ c) Interpréter ce résultat. Puisque r ≈ 0.98 est très proche de 1, il existe une très forte corrélation linéaire positive entre le rang du mois (x) et les dépenses mensuelles (y). Cela signifie que les dépenses de la famille Rakoto ont tendance à augmenter de manière quasi linéaire au fil des mois. 3°/ Par la méthode des moindres carrés, donner l'équation de la droite de régression (D) de y en x. Tracer cette droite. L'équation de la droite de régression est de la forme y = ax + b. Step 1: Calculer le coefficient directeur a. a = (n x_i y_i - ( x_i)( y_i))/(n x_i^2 - ( x_i)^2) = (1267)/(196) ≈ 6.4642857 Arrondi à 10^-2 près : a ≈ 6.46. Step 2: Calculer l'ordonnée à l'origine b. b = y - ax = 395 - (6.4642857) × 4 = 395 - 25.8571428 = 369.1428572 Arrondi à 10^-2 près : b ≈ 369.14. L'équation de la droite de régression (D) est y = 6.46x + 369.14. Step 3: Tracer la droite (D). Pour tracer la droite, utilisez le point moyen G(4, 395) et un autre point, par exemple pour x=1: y = 6.46(1) + 369.14 = 375.6. Donc le point (1, 375.6). Tracez la droite passant par ces deux points sur le nuage de points. 4°/ En utilisant la droite (D), donner une estimation des dépenses de la famille Rakoto pour le mois d'Octobre 2000. Octobre est le 10ème mois, donc x = 10. Step 1: Substituer x=10 dans l'équation de la droite de régression. y = 6.46(10) + 369.14 y = 64.6 + 369.14 y = 433.74 L'estimation des dépenses pour Octobre 2000 est de 433.74 mille francs. --- EXERCICE III (5 points) Une urne contient 12 jetons : 6 jaunes (J), 3 verts (V), 3 rouges (R). On tire 3 jetons simultanément. Le nombre total de tirages possibles est 123. 123 = (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1) = 2 × 11 × 10 = 220 La variable aléatoire X est définie comme suit : X = 1 si les trois jetons tirés sont de la même couleur. X = 2 si deux jetons seulement sont de la même couleur. X = 0 si les trois jetons tirés sont de trois couleurs différentes. 1°/ a) Déterminer la loi de probabilité de X. Step 1: Calculer P(X=1) (trois jetons de la même couleur). Ceci peut être (3J) ou (3V) ou (3R). Nombre de façons de tirer 3J : 63 = (6 × 5 × 4)/(3 × 2 × 1) = 20. Nombre de façons de tirer 3V : 33 = 1. Nombre de façons de tirer 3R : 33 = 1. Le nombre total de cas favorables pour X=1 est 20 + 1 + 1 = 22. P(X=1) = (22)/(220) = (1)/(10) Step 2: Calculer P(X=0) (trois jetons de trois couleurs différentes). Ceci signifie (1J et 1V et 1R). Le nombre de cas favorables est 61 × 31 × 31 = 6 × 3 × 3 = 54. P(X=0) = (54)/(220) = (27)/(110) Step 3: Calculer P(X=2) (deux jetons seulement sont de la même couleur). Ceci signifie qu'exactement deux jetons sont d'une couleur et le troisième est d'une couleur différente. Les combinaisons possibles sont : (2J, 1V) : 62 × 31 = 15 × 3 = 45. (2J, 1R) : 62 × 31 = 15 × 3 = 45. (2V, 1J) : 32 × 61 = 3 × 6 = 18. (2V, 1R) : 32 × 31 = 3 × 3 = 9. (2R, 1J) : 32 × 61 = 3 × 6 = 18. (2R, 1V) : 32 × 31 = 3 × 3 = 9. Le nombre total de cas favorables pour X=2 est 45 + 45 + 18 + 9 + 18 + 9 = 144. P(X=2) = (144)/(220) = (36)/(55) Step 4: Vérifier que la somme des probabilités est 1. P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = (27)/(110) + (1)/(10) + (36)/(55) = (27)/(110) + (11)/(110) + (72)/(110) = (27 + 11 + 72)/(110) = (110)/(110) = 1 La loi de probabilité de X est : |c|c|c|c| x_i & 0 & 1 & 2 \\ P(X=x_i) & (27)/(110) & (1)/(10) & (36)/(55) \\ 1°/ b) Définir la fonction de répartition F de X et la représenter graphiquement. Step 1: Définir la fonction de répartition F(x) = P(X x). Pour x < 0, F(x) = 0. Pour 0 x < 1, F(x) = P(X=0) = (27)/(110). Pour 1 x < 2, F(x) = P(X=0) + P(X=1) = (27)/(110) + (11)/(110) = (38)/(110) = (19)/(55). Pour x 2, F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1. La fonction de répartition est : F(x) = 0 & si x < 0 \\ (27)/(110) & si 0 x < 1 \\ (19)/(55) & si 1 x < 2 \\ 1 & si x 2 Step 2: Représenter graphiquement F(x). Tracez un repère orthogonal (O; i, j). Sur l'axe des abscisses, 1 unité représente 1 cm. Marquez les points 0, 1, 2. Sur l'axe des ordonnées, 1 unité représente 11 cm. La valeur (27)/(110) correspond à (27)/(110) × 11 cm = 2.7 cm. La valeur (19)/(55) correspond à (19)/(55) × 11 cm = 3.8 cm. La valeur 1 correspond à 1 × 11 cm = 11 cm. Le graphique est une fonction en escalier : Une ligne horizontale à y=0 pour x < 0. Un saut à x=0 jusqu'à y=(27)/(110). Tracez un segment horizontal de [0, 1[ à cette hauteur (point plein en x=0, point vide en x=1). Un saut à x=1 jusqu'à y=(19)/(55). Tracez un segment horizontal de [1, 2[ à cette hauteur (point plein en x=1, point vide en x=2). Un saut à x=2 jusqu'à y=1. Tracez un segment horizontal de [2, +[ à cette hauteur (point plein en x=2). Mándame la siguiente 📸

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