Exo 12: On pose q = sqrt(2/(2-sqrt(3))) + (2-sqrt(3))/(2-sqrt(3)). 1) Exprime q dans le symbole de la valeur absolue. 2) Donne un encadrement de q à 10⁻¹ près sachant que 1,732 < sqrt(3) < 1,733. 3) En déduire la valeur approche de q à 0,1 près par défaut.

Le deuxième terme est $\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$. Puisque $2-\sqrt{3} \neq 0$, ce terme est égal à 1.

$$q = \left| \frac{2}{2+\sqrt{3}} + 1 \right|$$

Pour rationaliser $\frac{2}{2+\sqrt{3}}$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est $2-\sqrt{3}$.

$$\frac{2}{2+\sqrt{3}} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$$

En utilisant l'identité $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ pour le dénominateur :

$$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$$

Donc, le premier terme devient :

$$\frac{2(2-\sqrt{3})}{1} = 4 - 2\sqrt{3}$$

Pour enlever la valeur absolue, nous devons savoir si $5 - 2\sqrt{3}$ est positif ou négatif. Comparons 5 et $2\sqrt{3}$.
Calculons leurs carrés :

$$5^2 = 25$$ $$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$$

Puisque $25 > 12$, on en déduit que $5 > 2\sqrt{3}$.
Par conséquent, $5 - 2\sqrt{3}$ est positif.

Puisque $5 - 2\sqrt{3}$ est positif, $|5 - 2\sqrt{3}| = 5 - 2\sqrt{3}$.
La valeur de $q$ sans le symbole de la valeur absolue est :

$$\boxed{q = 5 - 2\sqrt{3}}$$

2) Donner un encadrement de $q$ à $10^{-1}$ près sachant que $1,73 < \sqrt{3} < 1,74$.

Nous avons $q = 5 - 2\sqrt{3}$ et l'encadrement de $\sqrt{3}$ :

$$1,73 < \sqrt{3} < 1,74$$

$$2 \times 1,73 < 2\sqrt{3} < 2 \times 1,74$$ $$3,46 < 2\sqrt{3} < 3,48$$

$$5 - 3,48 < 5 - 2\sqrt{3} < 5 - 3,46$$ $$1,52 < q < 1,54$$

Un encadrement à $10^{-1}$ près signifie que l'amplitude de l'intervalle doit être de 0,1.
Puisque $1,52 < q < 1,54$, nous pouvons encadrer $q$ entre 1,5 et 1,6.
L'amplitude de cet intervalle est $1,6 - 1,5 = 0,1$.
L'encadrement de $q$ à $10^{-1}$ près est :

$$\boxed{1,5 < q < 1,6}$$

3) En déduire la valeur approchée de $q$ à 0,1 près par défaut.

Nous savons que $1,52 < q < 1,54$.
La valeur approchée par défaut de $q$ à 0,1 près est le plus grand nombre avec une décimale qui est inférieur ou égal à $q$.
Puisque $q$ est compris entre 1,52 et 1,54, le plus grand nombre avec une décimale qui lui est inférieur ou égal est 1,5.
La valeur approchée de $q$ à 0,1 près par défaut est :

$$\boxed{1,5}$$