Solve the following exercises, determining the domain of definition for each function given in Exercise 2.

هذا يعني أن $x \neq 2$ و $x \neq 3$.

أو

2. $f(x) = \frac{3x}{x^2-4}$

هذا يعني أن $x \neq 2$ و $x \neq -2$.

أو

3. $f(x) = \frac{3x}{x^2+4}$

لذلك، المقام $x^2+4$ لا يمكن أن يساوي الصفر أبدًا.

4. $f(x) = \sqrt{x^2-5x+4}$

الجذور هي $x=1$ و $x=4$. بما أن معامل $x^2$ موجب، فإن القطع المكافئ يفتح للأعلى، ويكون غير سالب خارج الجذور.

5. $f(x) = \frac{x^2+1}{\sqrt{x-2}}$

• ما تحت الجذر يجب أن يكون أكبر من أو يساوي الصفر: $x-2 \ge 0$.
• المقام لا يساوي الصفر: $\sqrt{x-2} \neq 0$.

$x \ge 2$.
من الشرط الثاني: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

6. $f(x) = \frac{x-1}{x-\sqrt{x}}$

• ما تحت الجذر يجب أن يكون أكبر من أو يساوي الصفر: $x \ge 0$.
• المقام لا يساوي الصفر: $x-\sqrt{x} \neq 0$.

$x-\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$.
إذن، $\sqrt{x}(\sqrt{x}-1) \neq 0$.
هذا يعني أن $\sqrt{x} \neq 0$ و $\sqrt{x}-1 \neq 0$.

• $\sqrt{x} \neq 0 \implies x \neq 0$.
• $\sqrt{x}-1 \neq 0 \implies \sqrt{x} \neq 1 \implies x \neq 1$.

$x \ge 0$ و $x \neq 0$ و $x \neq 1$.
هذا يعني أن $x > 0$ و $x \neq 1$.