Solve the following LIP Graphically. Maximize Z=20x+40y Subject to x+2y<=40, 3x+y<=30, 4x+3y<=60, x, y>=0

पहली शर्त: $x + 2y = 40$

• यदि $x = 0$, तो $2y = 40 \implies y = 20$. बिंदु है $(0, 20)$.
• यदि $y = 0$, तो $x = 40$. बिंदु है $(40, 0)$.

दूसरी शर्त: $3x + y = 30$

• यदि $x = 0$, तो $y = 30$. बिंदु है $(0, 30)$.
• यदि $y = 0$, तो $3x = 30 \implies x = 10$. बिंदु है $(10, 0)$.

तीसरी शर्त: $4x + 3y = 60$

• यदि $x = 0$, तो $3y = 60 \implies y = 20$. बिंदु है $(0, 20)$.
• यदि $y = 0$, तो $4x = 60 \implies x = 15$. बिंदु है $(15, 0)$.

$x \ge 0$ और $y \ge 0$ का अर्थ है कि व्यवहार्य क्षेत्र पहले चतुर्थांश में है।
व्यवहार्य क्षेत्र उन सभी बिंदुओं से घिरा है जो सभी शर्तों को पूरा करते हैं।
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:

• रेखा $x + 2y = 40$ और $3x + y = 30$ का प्रतिच्छेदन: $y = 30 - 3x$ को पहली समीकरण में रखने पर: $x + 2(30 - 3x) = 40$ $x + 60 - 6x = 40$ $-5x = -20 \implies x = 4$ $y = 30 - 3(4) = 18$. प्रतिच्छेदन बिंदु है $(4, 18)$.

• रेखा $3x + y = 30$ और $4x + 3y = 60$ का प्रतिच्छेदन: $y = 30 - 3x$ को तीसरी समीकरण में रखने पर: $4x + 3(30 - 3x) = 60$ $4x + 90 - 9x = 60$ $-5x = -30 \implies x = 6$ $y = 30 - 3(6) = 12$. प्रतिच्छेदन बिंदु है $(6, 12)$.

व्यवहार्य क्षेत्र के कोने के बिंदु हैं:

• $(15, 0)$ (रेखा $4x + 3y = 60$ का x-अक्ष पर अंतःखंड, जो अन्य शर्तों को भी पूरा करता है)
• $(40, 0)$ (रेखा $x + 2y = 40$ का x-अक्ष पर अंतःखंड, जो अन्य शर्तों को भी पूरा करता है)
• $(4, 18)$ (रेखा $x + 2y = 40$ और $3x + y = 30$ का प्रतिच्छेदन बिंदु)
• $(6, 12)$ (रेखा $3x + y = 30$ और $4x + 3y = 60$ का प्रतिच्छेदन बिंदु)

• बिंदु $(15, 0)$ पर: $Z = 20(15) + 40(0) = 300 + 0 = 300$
• बिंदु $(40, 0)$ पर: $Z = 20(40) + 40(0) = 800 + 0 = 800$
• बिंदु $(4, 18)$ पर: $Z = 20(4) + 40(18) = 80 + 720 = 800$
• बिंदु $(6, 12)$ पर: $Z = 20(6) + 40(12) = 120 + 480 = 600$

$Z$ का अधिकतम मान 800 है, जो बिंदु $(40, 0)$ और $(4, 18)$ दोनों पर प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि इन दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित सभी बिंदु भी $Z$ का अधिकतम मान 800 देंगे।

अधिकतम मान $\boxed{800}$ है।