Solve the following LPP Graphically maximize Z = 20x+40y subject to x + 2y <= 40, 3x+y <= 30, 4x+3y <= 60, x, y >= 0

पहली शर्त: $2x + 8y = 60$

• यदि $x = 0$, तो $8y = 60 \implies y = \frac{60}{8} = 7.5$. बिंदु है $(0, 7.5)$.
• यदि $y = 0$, तो $2x = 60 \implies x = 30$. बिंदु है $(30, 0)$.

दूसरी शर्त: $5x + 2y = 60$

• यदि $x = 0$, तो $2y = 60 \implies y = 30$. बिंदु है $(0, 30)$.
• यदि $y = 0$, तो $5x = 60 \implies x = 12$. बिंदु है $(12, 0)$.

$x \ge 0$ और $y \ge 0$ का अर्थ है कि व्यवहार्य क्षेत्र पहले चतुर्थांश में है।
दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:

1. $2x + 8y = 60 \implies x + 4y = 30 \implies x = 30 - 4y$
2. $5x + 2y = 60$ समीकरण (1) से $x$ का मान समीकरण (2) में रखने पर: $5(30 - 4y) + 2y = 60$ $150 - 20y + 2y = 60$ $150 - 18y = 60$ $18y = 150 - 60$ $18y = 90$ $y = \frac{90}{18} = 5$ अब $x$ का मान ज्ञात करें: $x = 30 - 4(5) = 30 - 20 = 10$ प्रतिच्छेदन बिंदु है $(10, 5)$.

व्यवहार्य क्षेत्र के कोने के बिंदु हैं:

• $(0, 0)$
• $(12, 0)$ (रेखा $5x + 2y = 60$ का x-अक्ष पर अंतःखंड)
• $(0, 7.5)$ (रेखा $2x + 8y = 60$ का y-अक्ष पर अंतःखंड)
• $(10, 5)$ (दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु)

• बिंदु $(0, 0)$ पर: $Z = 40(0) + 80(0) = 0$
• बिंदु $(12, 0)$ पर: $Z = 40(12) + 80(0) = 480 + 0 = 480$
• बिंदु $(10, 5)$ पर: $Z = 40(10) + 80(5) = 400 + 400 = 800$
• बिंदु $(0, 7.5)$ पर: $Z = 40(0) + 80(7.5) = 0 + 600 = 600$

$Z$ का अधिकतम मान 800 है, जो बिंदु $(10, 5)$ पर प्राप्त होता है।

अधिकतम मान $\boxed{800}$ है।