Given A = [[3, 1], [-1, 2]], verify that A2 − 5A + 7I = 0.

$$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$ $$A^2 = \begin{bmatrix} (3)(3) + (1)(-1) & (3)(1) + (1)(2) \\ (-1)(3) + (2)(-1) & (-1)(1) + (2)(2) \end{bmatrix}$$ $$A^2 = \begin{bmatrix} 9 - 1 & 3 + 2 \\ -3 - 2 & -1 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$$

चूंकि $A$ एक $2 \times 2$ मैट्रिक्स है, $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक मैट्रिक्स होगा।

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$7I = 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \times 1 & 7 \times 0 \\ 7 \times 0 & 7 \times 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$$

$$A^2 - 5A + 7I = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$$

पहले घटाव करें:

$$= \begin{bmatrix} 8 - 15 & 5 - 5 \\ -5 - (-5) & 3 - 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$$ $$= \begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$$

अब जोड़ करें:

$$= \begin{bmatrix} -7 + 7 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & -7 + 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

परिणाम एक शून्य मैट्रिक्स $O$ है।

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$$

इसलिए, $A^2 - 5A + 7I = O$ सत्यापित हो गया है।

$\text{सत्यापित}$