Given P(A) = 0.4, P(B) = 0.6, and P(A U B) = 0.8, calculate P(A^c | B) and P(A U B | A).

La fórmula para la probabilidad condicional es $P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$.
En este caso, $X = A^c$ y $Y = B$.

$$P(A^c | B) = \frac{P(A^c \cap B)}{P(B)}$$

El evento $A^c \cap B$ representa que $B$ ocurre y $A$ no ocurre. Esto es equivalente a $P(B) - P(A \cap B)$.

$$P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$$

Sustituimos los valores:

$$P(A^c \cap B) = 0.6 - 0.2$$ $$P(A^c \cap B) = 0.4$$

Ahora, sustituimos este valor en la fórmula de probabilidad condicional:

$$P(A^c | B) = \frac{0.4}{0.6}$$ $$P(A^c | B) = \frac{4}{6}$$ $$P(A^c | B) = \frac{2}{3}$$

El resultado para el apartado a) es:

$$\boxed{\frac{2}{3}}$$

Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicional:

$$P(A \cup B | A) = \frac{P((A \cup B) \cap A)}{P(A)}$$

El evento $(A \cup B) \cap A$ significa que ocurre ($A$ o $B$) Y ocurre $A$. Si $A$ ocurre, entonces ($A$ o $B$) siempre es verdadero. Por lo tanto, la intersección $(A \cup B) \cap A$ es simplemente $A$.
Así que, $P((A \cup B) \cap A) = P(A)$.
Sustituimos esto en la fórmula de probabilidad condicional:

$$P(A \cup B | A) = \frac{P(A)}{P(A)}$$ $$P(A \cup B | A) = \frac{0.4}{0.4}$$ $$P(A \cup B | A) = 1$$

El resultado para el apartado b) es:

$$\boxed{1}$$