Given that sin α = 5/12, find (a) cos α (b) tan α

Le relèvement de B depuis A est $060^\circ$. Cela signifie que l'angle entre la direction Nord à A et la ligne AB est de $60^\circ$ dans le sens horaire.
Le relèvement de C depuis B est $150^\circ$. Cela signifie que l'angle entre la direction Nord à B et la ligne BC est de $150^\circ$ dans le sens horaire.
Les lignes Nord à A et à B sont parallèles. L'angle entre la ligne Nord à B et la ligne BA (pointant vers A) est le relèvement de A depuis B.
Le relèvement de A depuis B est $060^\circ + 180^\circ = 240^\circ$.
L'angle intérieur $\angle ABC$ est la différence entre le relèvement de A depuis B et le relèvement de C depuis B.

$$\angle ABC = |240^\circ - 150^\circ| = 90^\circ$$

Le triangle ABC est donc un triangle rectangle en B.

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ $$AC^2 = (60 \text{ km})^2 + (70 \text{ km})^2$$ $$AC^2 = 3600 \text{ km}^2 + 4900 \text{ km}^2$$ $$AC^2 = 8500 \text{ km}^2$$ $$AC = \sqrt{8500} \text{ km}$$ $$AC = \sqrt{100 \times 85} \text{ km}$$ $$AC = 10\sqrt{85} \text{ km}$$

$$AC \approx 10 \times 9,21954 \text{ km}$$ $$AC \approx 92,1954 \text{ km}$$ $$\boxed{AC \approx 92,2 \text{ km}}$$

7. b) Le relèvement de A depuis C

Nous utilisons la fonction sinus: $\sin(\angle BCA) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{AC}$.

$$\sin(\angle BCA) = \frac{60}{10\sqrt{85}} = \frac{6}{\sqrt{85}}$$ $$\angle BCA = \arcsin\left(\frac{6}{\sqrt{85}}\right)$$ $$\angle BCA \approx 40,598^\circ$$

Le relèvement de C depuis B est $150^\circ$. Pour trouver le relèvement de B depuis C, nous ajoutons $180^\circ$ (car les points sont opposés).

$$\text{Relèvement de B depuis C} = 150^\circ + 180^\circ = 330^\circ$$

Le relèvement de A depuis C est l'angle depuis la ligne Nord à C, dans le sens horaire, jusqu'à la ligne CA.
En considérant la position relative des points, la ligne CA est située à $330^\circ - \angle BCA$ par rapport à la ligne Nord à C.

$$\text{Relèvement de A depuis C} = 330^\circ - \angle BCA$$ $$\text{Relèvement de A depuis C} \approx 330^\circ - 40,598^\circ$$ $$\text{Relèvement de A depuis C} \approx 289,402^\circ$$

$$\boxed{\text{Relèvement de A depuis C} \approx 289,4^\circ}$$

8. Calculer la longueur de la ligne droite AC

Dans le secteur de cercle de centre O, OA et OC sont des rayons, donc $OA = OC = 10$ cm. Le triangle AOC est un triangle isocèle. Nous utilisons la loi des cosinus pour trouver la longueur de la corde AC.

$$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2(OA)(OC)\cos(\angle AOC)$$ $$AC^2 = (10 \text{ cm})^2 + (10 \text{ cm})^2 - 2(10 \text{ cm})(10 \text{ cm})\cos(38^\circ)$$ $$AC^2 = 100 \text{ cm}^2 + 100 \text{ cm}^2 - 200 \text{ cm}^2 \cos(38^\circ)$$ $$AC^2 = 200 \text{ cm}^2 - 200 \text{ cm}^2 \cos(38^\circ)$$ $$AC^2 = 200(1 - \cos(38^\circ)) \text{ cm}^2$$

$$AC^2 \approx 200(1 - 0,78801) \text{ cm}^2$$ $$AC^2 \approx 200(0,21199) \text{ cm}^2$$ $$AC^2 \approx 42,398 \text{ cm}^2$$

$$AC = \sqrt{42,398} \text{ cm}$$ $$AC \approx 6,51137 \text{ cm}$$ $$\boxed{AC \approx 6,5 \text{ cm}}$$