Given that the roots of the equation x2 - x + 3 = 0 are α and β, determine the value of α2 + β2 and α3 + β3. (ii) If p is the statement: Desmond support football and q the statements: Edmond support boxing. Write down the following in simple English a) p ⇒ q b) ∼(pvq)

Question

Asked on June 25, 2026Mathematics

This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.

Accepted Answer · 2026-06-25T23:46:09.433Z

Voici la solution à la question 1. 1. (i) a) Déterminer la valeur de ^2 + ^2 et ^3 + ^3. L'équation donnée est x^2 - x + 3 = 0. Pour une équation quadratique ax^2 + bx + c = 0, la somme des racines est + = -(b)/(a) et le produit des racines est = (c)/(a). Ici, a=1, b=-1, c=3. Step 1: Calculer la somme et le produit des racines. + = -(-1)/(1) = 1 = (3)/(1) = 3 Step 2: Calculer ^2 + ^2. Nous utilisons l'identité ( + )^2 = ^2 + 2 + ^2. ^2 + ^2 = ( + )^2 - 2 ^2 + ^2 = (1)^2 - 2(3) ^2 + ^2 = 1 - 6 = -5 Step 3: Calculer ^3 + ^3. Nous utilisons l'identité ^3 + ^3 = ( + )(^2 - + ^2). ^3 + ^3 = ( + )((^2 + ^2) - ) ^3 + ^3 = (1)((-5) - 3) ^3 + ^3 = 1(-8) = -8 Les valeurs sont ^2 + ^2 = -5 et ^3 + ^3 = -8. 1. (i) b) Trouver l'équation quadratique dont les racines sont (1)/(1+) et (1)/(1+). Soient les nouvelles racines = (1)/(1+) et = (1)/(1+). Une équation quadratique avec les racines et est donnée par x^2 - ( + )x + = 0. Step 1: Calculer la somme des nouvelles racines. + = (1)/(1+) + (1)/(1+) = ((1+) + (1+))/((1+)(1+)) + = (2 + + )/(1 + + + ) En utilisant + = 1 et = 3: + = (2 + 1)/(1 + 1 + 3) = (3)/(5) Step 2: Calculer le produit des nouvelles racines. = (1)/(1+) · (1)/(1+) = (1)/((1+)(1+)) = (1)/(1 + + + ) En utilisant + = 1 et = 3: = (1)/(1 + 1 + 3) = (1)/(5) Step 3: Former l'équation quadratique. L'équation est x^2 - ( + )x + = 0. x^2 - (3)/(5)x + (1)/(5) = 0 Pour éliminer les dénominateurs, multiplions toute l'équation par 5 : 5x^2 - 3x + 1 = 0 L'équation quadratique est 5x^2 - 3x + 1 = 0. 1. (ii) Écrire les énoncés suivants en anglais simple. Soit p l'énoncé "Desmond supporte le football" et q l'énoncé "Edmond supporte la boxe". a) p q Ceci signifie "Si p, alors q". Si Desmond supporte le football, alors Edmond supporte la boxe. b) (p q) Ceci signifie "Non (p ou q)", ce qui est équivalent à "Non p et Non q" (loi de De Morgan). Desmond ne supporte pas le football et Edmond ne supporte pas la boxe. Envoie-moi la prochaine 📸

Accepted Answer · 2026-06-25T23:46:09.433Z

Voici la solution à la question 1. 1. (i) a) Déterminer la valeur de ^2 + ^2 et ^3 + ^3. L'équation donnée est x^2 - x + 3 = 0. Pour une équation quadratique ax^2 + bx + c = 0, la somme des racines est + = -(b)/(a) et le produit des racines est = (c)/(a). Ici, a=1, b=-1, c=3. Step 1: Calculer la somme et le produit des racines. + = -(-1)/(1) = 1 = (3)/(1) = 3 Step 2: Calculer ^2 + ^2. Nous utilisons l'identité ( + )^2 = ^2 + 2 + ^2. ^2 + ^2 = ( + )^2 - 2 ^2 + ^2 = (1)^2 - 2(3) ^2 + ^2 = 1 - 6 = -5 Step 3: Calculer ^3 + ^3. Nous utilisons l'identité ^3 + ^3 = ( + )(^2 - + ^2). ^3 + ^3 = ( + )((^2 + ^2) - ) ^3 + ^3 = (1)((-5) - 3) ^3 + ^3 = 1(-8) = -8 Les valeurs sont ^2 + ^2 = -5 et ^3 + ^3 = -8. 1. (i) b) Trouver l'équation quadratique dont les racines sont (1)/(1+) et (1)/(1+). Soient les nouvelles racines = (1)/(1+) et = (1)/(1+). Une équation quadratique avec les racines et est donnée par x^2 - ( + )x + = 0. Step 1: Calculer la somme des nouvelles racines. + = (1)/(1+) + (1)/(1+) = ((1+) + (1+))/((1+)(1+)) + = (2 + + )/(1 + + + ) En utilisant + = 1 et = 3: + = (2 + 1)/(1 + 1 + 3) = (3)/(5) Step 2: Calculer le produit des nouvelles racines. = (1)/(1+) · (1)/(1+) = (1)/((1+)(1+)) = (1)/(1 + + + ) En utilisant + = 1 et = 3: = (1)/(1 + 1 + 3) = (1)/(5) Step 3: Former l'équation quadratique. L'équation est x^2 - ( + )x + = 0. x^2 - (3)/(5)x + (1)/(5) = 0 Pour éliminer les dénominateurs, multiplions toute l'équation par 5 : 5x^2 - 3x + 1 = 0 L'équation quadratique est 5x^2 - 3x + 1 = 0. 1. (ii) Écrire les énoncés suivants en anglais simple. Soit p l'énoncé "Desmond supporte le football" et q l'énoncé "Edmond supporte la boxe". a) p q Ceci signifie "Si p, alors q". Si Desmond supporte le football, alors Edmond supporte la boxe. b) (p q) Ceci signifie "Non (p ou q)", ce qui est équivalent à "Non p et Non q" (loi de De Morgan). Desmond ne supporte pas le football et Edmond ne supporte pas la boxe. Envoie-moi la prochaine 📸

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