Given that the roots of the equation x2 − x + 3 = 0 are α and β, determine the value of α2 + β2 and α3 + β3. (ii) If p is the statement: Desmond support football and q the statements: Edmond support boxing. Write down the following in simple English a) p ⇒ q b) ∼(pvq)

$$\alpha + \beta = -\frac{-1}{1} = 1$$ $$\alpha\beta = \frac{3}{1} = 3$$

Nous utilisons l'identité $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$.

$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$$ $$\alpha^2 + \beta^2 = (1)^2 - 2(3)$$ $$\alpha^2 + \beta^2 = 1 - 6 = -5$$

Nous utilisons l'identité $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$.

$$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)((\alpha^2 + \beta^2) - \alpha\beta)$$ $$\alpha^3 + \beta^3 = (1)((-5) - 3)$$ $$\alpha^3 + \beta^3 = 1(-8) = -8$$

Les valeurs sont $\boxed{\alpha^2 + \beta^2 = -5}$ et $\boxed{\alpha^3 + \beta^3 = -8}$.

1. (i) b) Trouver l'équation quadratique dont les racines sont $\frac{1}{1+\alpha}$ et $\frac{1}{1+\beta}$.

Soient les nouvelles racines $\gamma = \frac{1}{1+\alpha}$ et $\delta = \frac{1}{1+\beta}$.
Une équation quadratique avec les racines $\gamma$ et $\delta$ est donnée par $x^2 - (\gamma + \delta)x + \gamma\delta = 0$.

$$\gamma + \delta = \frac{1}{1+\alpha} + \frac{1}{1+\beta} = \frac{(1+\beta) + (1+\alpha)}{(1+\alpha)(1+\beta)}$$ $$\gamma + \delta = \frac{2 + \alpha + \beta}{1 + \alpha + \beta + \alpha\beta}$$

En utilisant $\alpha + \beta = 1$ et $\alpha\beta = 3$:

$$\gamma + \delta = \frac{2 + 1}{1 + 1 + 3} = \frac{3}{5}$$

$$\gamma\delta = \frac{1}{1+\alpha} \cdot \frac{1}{1+\beta} = \frac{1}{(1+\alpha)(1+\beta)}$$ $$\gamma\delta = \frac{1}{1 + \alpha + \beta + \alpha\beta}$$

En utilisant $\alpha + \beta = 1$ et $\alpha\beta = 3$:

$$\gamma\delta = \frac{1}{1 + 1 + 3} = \frac{1}{5}$$

L'équation est $x^2 - (\gamma + \delta)x + \gamma\delta = 0$.

$$x^2 - \frac{3}{5}x + \frac{1}{5} = 0$$

Pour éliminer les dénominateurs, multiplions toute l'équation par 5 :

$$5x^2 - 3x + 1 = 0$$

L'équation quadratique est $\boxed{5x^2 - 3x + 1 = 0}$.

1. (ii) Écrire les énoncés suivants en anglais simple.

Soit $p$ l'énoncé "Desmond supporte le football" et $q$ l'énoncé "Edmond supporte la boxe".

• a) $p \Rightarrow q$ Ceci signifie "Si $p$, alors $q$". Si Desmond supporte le football, alors Edmond supporte la boxe.

• b) $\sim(p \lor q)$ Ceci signifie "Non ($p$ ou $q$)", ce qui est équivalent à "Non $p$ et Non $q$" (loi de De Morgan). Desmond ne supporte pas le football et Edmond ne supporte pas la boxe.