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Given that vector a = -2i + 4k, b = -2i + 3j + k, the cosine of the angle between a and b is

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5 parts
20

C. 2π3\text{C. } \frac{2\pi}{3}

21

D. 35+65i\text{D. } \frac{3}{5} + \frac{6}{5}i

22

B. 225∘\text{B. } 225^\circ

23

A. 470\text{A. } \frac{4}{\sqrt{70}}

24

D. 22−3\text{D. } 2\sqrt{2}-3

Step-by-step solution

15 steps

Voici les solutions détaillées pour chaque question :

Part 20· 2 steps

L'argument du nombre complexe −3−i3+i-\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+i} est

  1. Simplifier le nombre complexe en rationalisant le dénominateur.

    Soit z=−3−i3+iz = -\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+i}. On commence par simplifier la fraction :

    3−i3+i=(3−i)(3−i)(3+i)(3−i)\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+i} = \frac{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)} =(3)2−23i+i2(3)2−i2= \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}i + i^2}{(\sqrt{3})^2 - i^2} =3−23i−13−(−1)= \frac{3 - 2\sqrt{3}i - 1}{3 - (-1)} =2−23i4= \frac{2 - 2\sqrt{3}i}{4} =12−32i= \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i

    Maintenant, on applique le signe négatif :

    z=−(12−32i)=−12+32iz = -\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i

  2. Trouver l'argument du nombre complexe z=−12+32iz = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i.

    Le nombre complexe est de la forme a+bia+bi avec a=−12a = -\frac{1}{2} et b=32b = \frac{\sqrt{3}}{2}.
    Le module est r=∣z∣=a2+b2=(−12)2+(32)2=14+34=1=1r = |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1.
    L'argument θ\theta satisfait cos⁡θ=ar\cos\theta = \frac{a}{r} et sin⁡θ=br\sin\theta = \frac{b}{r}.

    cos⁡θ=−1/21=−12\cos\theta = \frac{-1/2}{1} = -\frac{1}{2} sin⁡θ=3/21=32\sin\theta = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Puisque cos⁡θ\cos\theta est négatif et sin⁡θ\sin\theta est positif, l'angle θ\theta se trouve dans le deuxième quadrant. L'angle de référence est π3\frac{\pi}{3} (car cos⁡(π3)=12\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} et sin⁡(π3)=32\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}).
    Dans le deuxième quadrant, θ=π−π3=2π3\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.
    La réponse est C. 2π3\boxed{\text{C. } \frac{2\pi}{3}}.

Part 21

D. 35+65i\text{D. } \frac{3}{5} + \frac{6}{5}i

Le nombre complexe 3+3i3−i\frac{3+3i}{3-i} peut être exprimé sous la forme

  1. Simplifier le nombre complexe en rationalisant le dénominateur.

    Soit z=3+3i3−iz = \frac{3+3i}{3-i}. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est 3+i3+i.

    z=(3+3i)(3+i)(3−i)(3+i)z = \frac{(3+3i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}

  2. Développer le numérateur et le dénominateur.

    Numérateur :

    (3+3i)(3+i)=3(3)+3(i)+3i(3)+3i(i)(3+3i)(3+i) = 3(3) + 3(i) + 3i(3) + 3i(i) =9+3i+9i+3i2= 9 + 3i + 9i + 3i^2 =9+12i−3= 9 + 12i - 3 =6+12i= 6 + 12i

    Dénominateur :

    (3−i)(3+i)=32−i2(3-i)(3+i) = 3^2 - i^2 =9−(−1)= 9 - (-1) =9+1=10= 9 + 1 = 10

  3. Écrire le nombre complexe sous la forme a+bia+bi.

    z=6+12i10=610+1210iz = \frac{6 + 12i}{10} = \frac{6}{10} + \frac{12}{10}i z=35+65iz = \frac{3}{5} + \frac{6}{5}i

    La réponse est D. 35+65i\boxed{\text{D. } \frac{3}{5} + \frac{6}{5}i}.

Part 22

B. 225∘\text{B. } 225^\circ

Étant donné le vecteur a=−2i−2ja = -2i - 2j, alors la direction de aa est

  1. Identifier les composantes du vecteur.

    Le vecteur a=−2i−2ja = -2i - 2j a pour composantes x=−2x = -2 et y=−2y = -2.

  2. Calculer l'angle de direction.

    L'angle de direction θ\theta est donné par tan⁡θ=yx\tan\theta = \frac{y}{x}.

    tan⁡θ=−2−2=1\tan\theta = \frac{-2}{-2} = 1

    Puisque les deux composantes xx et yy sont négatives, le vecteur se situe dans le troisième quadrant.
    L'angle de référence pour tan⁡θ=1\tan\theta = 1 est 45∘45^\circ.
    Dans le troisième quadrant, l'angle est θ=180∘+45∘=225∘\theta = 180^\circ + 45^\circ = 225^\circ.
    La réponse est B. 225∘\boxed{\text{B. } 225^\circ}.

Part 23

A. 470\text{A. } \frac{4}{\sqrt{70}}

Étant donné a=−2i+4ka = -2i + 4k, b=−2i+3j+kb = -2i + 3j + k, le cosinus de l'angle entre aa et bb est

  1. Écrire les vecteurs sous forme de composantes.

    a=(−204)a = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} b=(−231)b = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}

  2. Calculer le produit scalaire a⋅ba \cdot b.

    a⋅b=(−2)(−2)+(0)(3)+(4)(1)a \cdot b = (-2)(-2) + (0)(3) + (4)(1) =4+0+4=8= 4 + 0 + 4 = 8

  3. Calculer les magnitudes des vecteurs $|a|$ et $|b|$.

    ∣a∣=(−2)2+02+42=4+0+16=20|a| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 0 + 16} = \sqrt{20} ∣b∣=(−2)2+32+12=4+9+1=14|b| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}

  4. Appliquer la formule du cosinus de l'angle entre deux vecteurs.

    cos⁡θ=a⋅b∣a∣∣b∣\cos\theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|} cos⁡θ=82014\cos\theta = \frac{8}{\sqrt{20}\sqrt{14}} cos⁡θ=820×14\cos\theta = \frac{8}{\sqrt{20 \times 14}} cos⁡θ=8280\cos\theta = \frac{8}{\sqrt{280}}

  5. Simplifier l'expression.

    On simplifie 280\sqrt{280}: 280=4×70=270\sqrt{280} = \sqrt{4 \times 70} = 2\sqrt{70}.

    cos⁡θ=8270\cos\theta = \frac{8}{2\sqrt{70}} cos⁡θ=470\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{70}}

    La réponse est A. 470\boxed{\text{A. } \frac{4}{\sqrt{70}}}.

Part 24

D. 22−3\text{D. } 2\sqrt{2}-3

Simplifier 1−21+2\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}

  1. Rationaliser le dénominateur.

    On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est 1−21-\sqrt{2}.

    1−21+2=(1−2)(1−2)(1+2)(1−2)\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{(1-\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}

  2. Développer le numérateur et le dénominateur.

    Numérateur : (1−2)2=12−2(1)(2)+(2)2=1−22+2=3−22(1-\sqrt{2})^2 = 1^2 - 2(1)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}.
    Dénominateur : (1+2)(1−2)=12−(2)2=1−2=−1(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1.

  3. Simplifier l'expression finale.

    3−22−1=−(3−22)=−3+22\frac{3 - 2\sqrt{2}}{-1} = -(3 - 2\sqrt{2}) = -3 + 2\sqrt{2} =22−3= 2\sqrt{2} - 3

    La réponse est D. 22−3\boxed{\text{D. } 2\sqrt{2}-3}.

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