Huu hapa ni utatuzi wa maswali yako:

Question

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

Huu hapa ni utatuzi wa maswali yako: a) Tathmini viambajengo vifuatavyo: i) ∫ (4x³ − 3x² + 15)dx Step 1: Tumia sheria ya nguvu ya kiambajengo ∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C. ∫ (4x³ − 3x² + 15)dx = 4(x³⁺¹)/(3+1) − 3(x²⁺¹)/(2+1) + 15x + C Step 2: Rahisisha. = 4(x⁴)/(4) − 3(x³)/(3) + 15x + C; = x⁴ − x³ + 15x + C Jibu: x⁴ − x³ + 15x + C ii) ∫₀² (x² − 4x)dx Step 1: Tafuta kiambajengo kisicho na kikomo. ∫ (x² − 4x)dx = (x²⁺¹)/(2+1) − 4(x¹⁺¹)/(1+1) = (x³)/(3) − 4(x²)/(2) = (x³)/(3) − 2x² Step 2: Tumia mipaka ya kiambajengo (kutoka 0 hadi 2). [(x³)/(3) − 2x²]₀² = ((2³)/(3) − 2(2²)) − ((0³)/(3) − 2(0²)); = (8/3 − 2(4)) − (0 − 0); = 8/3 − 8 Step 3: Rahisisha. = 8/3 − 24/3 = −16/3 Jibu: −16/3 iii) ∫ 3x²(x³ + 1)⁵ dx Step 1: Tumia njia ya ubadilishaji. Acha u = x³ + 1. Step 2: Tafuta du. du = d/dx(x³ + 1) dx = 3x² dx Step 3: Badilisha u na du kwenye kiambajengo. ∫ u⁵ du Step 4: Tafuta kiambajengo. = (u⁵⁺¹)/(5+1) + C = (u⁶)/(6) + C; Step 5: Rudisha u = x³ + 1. = ((x³ + 1)⁶)/(6) + C Jibu: ((x³ + 1)⁶)/(6) + C iv) V(t) = ∫₀^t P(τ) dτ. Kutokana na P(t) = 40e^(−t/10). Step 1: Badilisha P(τ) kwenye kiambajengo. V(t) = ∫₀^t 40e^(−(τ)/(10)) dτ; Step 2: Tafuta kiambajengo kisicho na kikomo. Acha u = −(τ)/(10), basi du = −1/10 dτ, hivyo dτ = −10 du. ∫ 40e^u (−10 du) = −400 ∫ e^u du = −400e^u; Step 3: Rudisha u = −(τ)/(10) na tumia mipaka ya kiambajengo. [−400e^(−(τ)/(10))]₀^t = −400e^(−t/10) − (−400e^(−0/10)); = −400e^(−t/10) − (−400e⁰); = −400e^(−t/10) + 400(1) Step 4: Rahisisha. = 400 − 400e^(−t/10) = 400(1 − e^(−t/10)) Jibu: 400(1 − e^(−t/10)) b) Kampuni ndogo ya utengenezaji inazalisha na kuuza viti maalum vya ofisi. i) Bainisha kazi ya faida P(x). Step 1: Tafuta kazi ya mapato R(x) kwa kuunganisha MR(x). R(x) = ∫ MR(x) dx = ∫ (120 − 4x) dx = 120x − 2x² + C_R; Kwa kuwa mapato ni 0 wakati hakuna viti vinavyouzwa (R(0)=0), C_R = 0. R(x) = 120x − 2x² Step 2: Tafuta kazi ya gharama C(x) kwa kuunganisha MC(x). C(x) = ∫ MC(x) dx = ∫ (20 + 2x) dx = 20x + x² + C_C; Gharama zisizobadilika ni KSh 5,000, ambayo inamaanisha C(0) = 5000. Hivyo C_C = 5000. C(x) = x² + 20x + 5000; Step 3: Tafuta kazi ya faida P(x) = R(x) − C(x). P(x) = (120x − 2x²) − (x² + 20x + 5000); P(x) = 120x − 2x² − x² − 20x − 5000 Step 4: Rahisisha. P(x) = −3x² + 100x − 5000; Jibu: P(x) = −3x² + 100x − 5000 ii) Kokotoa faida wakati viti 10 vinazalishwa na kuuzwa. Step 1: Badilisha x = 10 kwenye kazi ya faida P(x). P(10) = −3(10)² + 100(10) − 5000; P(10) = −3(100) + 1000 − 5000; P(10) = −300 + 1000 − 5000 Step 2: Kokotoa thamani. P(10) = 700 − 5000 = −4300 Jibu: Faida ni -KSh 4,300 (hasara ya KSh 4,300). iii) Tafsiri maana ya kiuchumi ya gharama zisizobadilika, kazi ya mapato ya pembezoni, na kazi ya gharama ya pembezoni. Gharama zisizobadilika (Fixed Cost): Hii ni gharama ambayo kampuni inatumia bila kujali idadi ya viti vinavyozalishwa. Inabaki sawa hata kama hakuna viti vinavyozalishwa. Kwa mfano, kodi ya jengo au mishahara ya wafanyakazi wa kudumu. Kazi ya Mapato ya Pembezoni (MR(x)): Hii inaonyesha mapato ya ziada yanayopatikana kutokana na kuuza kitengo kimoja cha ziada cha bidhaa (kiti). Inasaidia kampuni kuamua kama kuuza kitengo kingine kutaleta faida. Kazi ya Gharama ya Pembezoni (MC(x)): Hii inaonyesha gharama ya ziada inayotumika kuzalisha kitengo kimoja cha ziada cha bidhaa (kiti). Inasaidia kampuni kuamua kama kuzalisha kitengo kingine kuna gharama nafuu. c) Utafiti wa soko kwa bidhaa fulani nchini Kenya ulianzisha kazi zifuatazo za mahitaji na usambazaji: Mahitaji: P = 120 − 2x; Usambazaji: P = 3x + 20 Tafuta ziada ya wazalishaji na watumiaji na utafsiri maana ya kila moja kuhusiana na kufanya maamuzi ya biashara na ufanisi wa soko. Step 1: Tafuta bei na wingi wa usawa (x_e, P_e). Weka kazi za mahitaji na usambazaji sawa. 120 − 2x = 3x + 20; 120 − 20 = 3x + 2x; 100 = 5x; x_e = 100/5 = 20; Badilisha x_e = 20 kwenye mojawapo ya kazi ili kupata P_e. P_e = 120 − 2(20) = 120 − 40 = 80; Hivyo, wingi wa usawa ni x_e = 20 na bei ya usawa ni P_e = KSh 80. Step 2: Kokotoa Ziada ya Mtumiaji (Consumer Surplus, CS). CS = ∫₀^(x_e) (P_D(x) − P_e) dx; CS = ∫₀²⁰ ((120 − 2x) − 80) dx; CS = ∫₀²⁰ (40 − 2x) dx; CS = [40x − x²]₀²⁰; CS = (40(20) − (20)²) − (40(0) − (0)²); CS = (800 − 400) − 0 = 400 Ziada ya Mtumiaji: KSh 400 Step 3: Kokotoa Ziada ya Mzalishaji (Producer Surplus, PS). PS = ∫₀^(x_e) (P_e − P_S(x)) dx; PS = ∫₀²⁰ (80 − (3x + 20)) dx; PS = ∫₀²⁰ (80 − 3x − 20) dx; PS = ∫₀²⁰ (60 − 3x) dx; PS = [60x − 3/2x²]₀²⁰; PS = (60(20) − 3/2(20)²) − (60(0) − 3/2(0)²); PS = (1200 − 3/2(400)) − 0; PS = 1200 − 3(200) = 1200 − 600 = 600 Ziada ya Mzalishaji: KSh 600 Step 4: Tafsiri maana ya Ziada ya Mtumiaji na Ziada ya Mzalishaji. Ziada ya Mtumiaji (Consumer Surplus): Hii inawakilisha faida ya kifedha ambayo watumiaji hupata kwa kununua bidhaa kwa bei ya chini kuliko bei ya juu zaidi ambayo wangekuwa tayari kulipa. Katika kesi hii, watumiaji wanapata faida ya KSh 400, ikionyesha thamani ya ziada wanayoipata kutoka sokoni. Kwa maamuzi ya biashara, ziada kubwa ya watumiaji inaweza kuashiria kuwa bidhaa inathaminiwa sana na watumiaji, na kuna uwezekano wa kuongeza bei kidogo bila kupoteza wateja wengi. Ziada ya Mzalishaji (Producer Surplus): Hii inawakilisha faida ya kifedha ambayo wazalishaji hupata kwa kuuza bidhaa kwa bei ya juu kuliko bei ya chini zaidi ambayo wangekuwa tayari kuuza. Katika kesi hii, wazalishaji wanapata faida ya KSh 600, ikionyesha ufanisi wa soko kwa wazalishaji. Kwa maamuzi ya biashara, ziada kubwa ya wazalishaji inaweza kuashiria kuwa uzalishaji una faida na soko linafaa kwa uwekezaji zaidi au upanuzi. Ziada zote mbili zinaonyesha ufanisi wa soko. Ziada ya jumla (CS + PS) ni kipimo cha ustawi wa jamii unaotokana na biashara katika soko.

Huu hapa ni utatuzi wa maswali yako:

Answers

Step-by-step solution

Part a(i)· 2 steps

Tumia sheria ya nguvu ya kiambajengo $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ .

Rahisisha.

Part a(ii)· 3 steps
$-\frac{16}{3}$

Tafuta kiambajengo kisicho na kikomo.

Tumia mipaka ya kiambajengo (kutoka 0 hadi 2).

Rahisisha.

Part a(iii)· 5 steps
$\frac{(x^3 + 1)^6}{6} + C$

Tumia njia ya ubadilishaji.

Tafuta $du$ .

Badilisha $u$ na $du$ kwenye kiambajengo.

Tafuta kiambajengo.

Rudisha $u = x^3 + 1$ .

Part a(iv)· 4 steps
$400(1 - e^{-\frac{t}{10}})$

Badilisha $P(\tau)$ kwenye kiambajengo.

Tafuta kiambajengo kisicho na kikomo.

Rudisha $u = -\frac{\tau}{10}$ na tumia mipaka ya kiambajengo.

Rahisisha.

Part b(i)· 4 steps
$P(x) = -3x^2 + 100x - 5000$

Tafuta kazi ya mapato $R(x)$ kwa kuunganisha $MR(x)$ .

Tafuta kazi ya gharama $C(x)$ kwa kuunganisha $MC(x)$ .

Tafuta kazi ya faida $P(x) = R(x) - C(x)$ .

Rahisisha.

Part b(ii)· 2 steps
$\text{-KSh 4,300}$

Badilisha $x = 10$ kwenye kazi ya faida $P(x)$ .

Kokotoa thamani.

Part b(iii)

Part c· 4 steps
$\text{KSh 400}$

Tafuta bei na wingi wa usawa ( $x_e, P_e$ ).

Kokotoa Ziada ya Mtumiaji (Consumer Surplus, CS).

Kokotoa Ziada ya Mzalishaji (Producer Surplus, PS).

Tafsiri maana ya Ziada ya Mtumiaji na Ziada ya Mzalishaji.

Try one yourself

Still stuck on this one?

More Mathematics Questions

Huu hapa ni utatuzi wa maswali yako:

Answers

Step-by-step solution

Part a(i)· 2 steps

Tumia sheria ya nguvu ya kiambajengo ∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C∫xndx=n+1xn+1​+C.

Rahisisha.

Part a(ii)· 3 steps−163-\frac{16}{3}−316​

Tafuta kiambajengo kisicho na kikomo.

Tumia mipaka ya kiambajengo (kutoka 0 hadi 2).

Rahisisha.

Part a(iii)· 5 steps(x3+1)66+C\frac{(x^3 + 1)^6}{6} + C6(x3+1)6​+C

Tumia njia ya ubadilishaji.

Tafuta dududu.

Badilisha uuu na dududu kwenye kiambajengo.

Tafuta kiambajengo.

Rudisha u=x3+1u = x^3 + 1u=x3+1.

Part a(iv)· 4 steps400(1−e−t10)400(1 - e^{-\frac{t}{10}})400(1−e−10t​)

Badilisha P(τ)P(\tau)P(τ) kwenye kiambajengo.

Tafuta kiambajengo kisicho na kikomo.

Rudisha u=−τ10u = -\frac{\tau}{10}u=−10τ​ na tumia mipaka ya kiambajengo.

Rahisisha.

Part b(i)· 4 stepsP(x)=−3x2+100x−5000P(x) = -3x^2 + 100x - 5000P(x)=−3x2+100x−5000

Tafuta kazi ya mapato R(x)R(x)R(x) kwa kuunganisha MR(x)MR(x)MR(x).

Tafuta kazi ya gharama C(x)C(x)C(x) kwa kuunganisha MC(x)MC(x)MC(x).

Tafuta kazi ya faida P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x)P(x)=R(x)−C(x).

Rahisisha.

Part b(ii)· 2 steps-KSh 4,300\text{-KSh 4,300}-KSh 4,300

Badilisha x=10x = 10x=10 kwenye kazi ya faida P(x)P(x)P(x).

Kokotoa thamani.

Part b(iii)

Part c· 4 stepsKSh 400\text{KSh 400}KSh 400

Tafuta bei na wingi wa usawa (xe,Pex_e, P_exe​,Pe​).

Kokotoa Ziada ya Mtumiaji (Consumer Surplus, CS).

Kokotoa Ziada ya Mzalishaji (Producer Surplus, PS).

Tafsiri maana ya Ziada ya Mtumiaji na Ziada ya Mzalishaji.

Try one yourself

Still stuck on this one?

More Mathematics Questions

Tumia sheria ya nguvu ya kiambajengo $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ .

Part a(ii)· 3 steps
$-\frac{16}{3}$

Part a(iii)· 5 steps
$\frac{(x^3 + 1)^6}{6} + C$

Tafuta $du$ .

Badilisha $u$ na $du$ kwenye kiambajengo.

Rudisha $u = x^3 + 1$ .

Part a(iv)· 4 steps
$400(1 - e^{-\frac{t}{10}})$

Badilisha $P(\tau)$ kwenye kiambajengo.

Rudisha $u = -\frac{\tau}{10}$ na tumia mipaka ya kiambajengo.

Part b(i)· 4 steps
$P(x) = -3x^2 + 100x - 5000$

Tafuta kazi ya mapato $R(x)$ kwa kuunganisha $MR(x)$ .

Tafuta kazi ya gharama $C(x)$ kwa kuunganisha $MC(x)$ .

Tafuta kazi ya faida $P(x) = R(x) - C(x)$ .

Part b(ii)· 2 steps
$\text{-KSh 4,300}$

Badilisha $x = 10$ kwenye kazi ya faida $P(x)$ .

Part c· 4 steps
$\text{KSh 400}$

Tafuta bei na wingi wa usawa ( $x_e, P_e$ ).