Huu hapa ni utatuzi wa maswali yako:

Huu hapa ni utatuzi wa maswali yako: a) Tathmini viambajengo vifuatavyo: i) (4x^3 - 3x^2 + 15)dx Step 1: Tumia sheria ya nguvu ya kiambajengo x^n dx = x^n+1n+1 + C. (4x^3 - 3x^2 + 15)dx = 4x^3+13+1 - 3x^2+12+1 + 15x + C Step 2: Rahisisha. = 4(x^4)/(4) - 3(x^3)/(3) + 15x + C = x^4 - x^3 + 15x + C Jibu: x^4 - x^3 + 15x + C ii) _0^2 (x^2 - 4x)dx Step 1: Tafuta kiambajengo kisicho na kikomo. (x^2 - 4x)dx = x^2+12+1 - 4x^1+11+1 = (x^3)/(3) - 4(x^2)/(2) = (x^3)/(3) - 2x^2 Step 2: Tumia mipaka ya kiambajengo (kutoka 0 hadi 2). [(x^3)/(3) - 2x^2]_0^2 = ((2^3)/(3) - 2(2^2)) - ((0^3)/(3) - 2(0^2)) = ((8)/(3) - 2(4)) - (0 - 0) = (8)/(3) - 8 Step 3: Rahisisha. = (8)/(3) - (24)/(3) = -(16)/(3) Jibu: -(16)/(3) iii) 3x^2(x^3 + 1)^5 dx Step 1: Tumia njia ya ubadilishaji. Acha u = x^3 + 1. Step 2: Tafuta du. du = (d)/(dx)(x^3 + 1) dx = 3x^2 dx Step 3: Badilisha u na du kwenye kiambajengo. u^5 du Step 4: Tafuta kiambajengo. = u^5+15+1 + C = (u^6)/(6) + C Step 5: Rudisha u = x^3 + 1. = ((x^3 + 1)^6)/(6) + C Jibu: ((x^3 + 1)^6)/(6) + C iv) V(t) = _0^t P() d. Kutokana na P(t) = 40e^-(t)/(10). Step 1: Badilisha P() kwenye kiambajengo. V(t) = _0^t 40e^-()/(10) d Step 2: Tafuta kiambajengo kisicho na kikomo. Acha u = -()/(10), basi du = -(1)/(10) d, hivyo d = -10 du. 40e^u (-10 du) = -400 e^u du = -400e^u Step 3: Rudisha u = -()/(10) na tumia mipaka ya kiambajengo. [-400e^-()/(10)]_0^t = -400e^-(t)/(10) - (-400e^-(0)/(10)) = -400e^-(t)/(10) - (-400e^0) = -400e^-(t)/(10) + 400(1) Step 4: Rahisisha. = 400 - 400e^-(t)/(10) = 400(1 - e^-(t)/(10)) Jibu: 400(1 - e^-(t)/(10)) b) Kampuni ndogo ya utengenezaji inazalisha na kuuza viti maalum vya ofisi. i) Bainisha kazi ya faida P(x). Step 1: Tafuta kazi ya mapato R(x) kwa kuunganisha MR(x). R(x) = MR(x) dx = (120 - 4x) dx = 120x - 2x^2 + C_R Kwa kuwa mapato ni 0 wakati hakuna viti vinavyouzwa (R(0)=0), C_R = 0. R(x) = 120x - 2x^2 Step 2: Tafuta kazi ya gharama C(x) kwa kuunganisha MC(x). C(x) = MC(x) dx = (20 + 2x) dx = 20x + x^2 + C_C Gharama zisizobadilika ni KSh 5,000, ambayo inamaanisha C(0) = 5000. Hivyo C_C = 5000. C(x) = x^2 + 20x + 5000 Step 3: Tafuta kazi ya faida P(x) = R(x) - C(x). P(x) = (120x - 2x^2) - (x^2 + 20x + 5000) P(x) = 120x - 2x^2 - x^2 - 20x - 5000 Step 4: Rahisisha. P(x) = -3x^2 + 100x - 5000 Jibu: P(x) = -3x^2 + 100x - 5000 ii) Kokotoa faida wakati viti 10 vinazalishwa na kuuzwa. Step 1: Badilisha x = 10 kwenye kazi ya faida P(x). P(10) = -3(10)^2 + 100(10) - 5000 P(10) = -3(100) + 1000 - 5000 P(10) = -300 + 1000 - 5000 Step 2: Kokotoa thamani. P(10) = 700 - 5000 = -4300 Jibu: Faida ni -KSh 4,300 (hasara ya KSh 4,300). iii) Tafsiri maana ya kiuchumi ya gharama zisizobadilika, kazi ya mapato ya pembezoni, na kazi ya gharama ya pembezoni. Gharama zisizobadilika (Fixed Cost): Hii ni gharama ambayo kampuni inatumia bila kujali idadi ya viti vinavyozalishwa. Inabaki sawa hata kama hakuna viti vinavyozalishwa. Kwa mfano, kodi ya jengo au mishahara ya wafanyakazi wa kudumu. Kazi ya Mapato ya Pembezoni (MR(x)): Hii inaonyesha mapato ya ziada yanayopatikana kutokana na kuuza kitengo kimoja cha ziada cha bidhaa (kiti). Inasaidia kampuni kuamua kama kuuza kitengo kingine kutaleta faida. Kazi ya Gharama ya Pembezoni (MC(x)): Hii inaonyesha gharama ya ziada inayotumika kuzalisha kitengo kimoja cha ziada cha bidhaa (kiti). Inasaidia kampuni kuamua kama kuzalisha kitengo kingine kuna gharama nafuu. c) Utafiti wa soko kwa bidhaa fulani nchini Kenya ulianzisha kazi zifuatazo za mahitaji na usambazaji: Mahitaji: P = 120 - 2x Usambazaji: P = 3x + 20 Tafuta ziada ya wazalishaji na watumiaji na utafsiri maana ya kila moja kuhusiana na kufanya maamuzi ya biashara na ufanisi wa soko. Step 1: Tafuta bei na wingi wa usawa (x_e, P_e). Weka kazi za mahitaji na usambazaji sawa. 120 - 2x = 3x + 20 120 - 20 = 3x + 2x 100 = 5x x_e = (100)/(5) = 20 Badilisha x_e = 20 kwenye mojawapo ya kazi ili kupata P_e. P_e = 120 - 2(20) = 120 - 40 = 80 Hivyo, wingi wa usawa ni x_e = 20 na bei ya usawa ni P_e = KSh 80. Step 2: Kokotoa Ziada ya Mtumiaji (Consumer Surplus, CS). CS = _0^x_e (P_D(x) - P_e) dx CS = _0^20 ((120 - 2x) - 80) dx CS = _0^20 (40 - 2x) dx CS = [40x - x^2]_0^20 CS = (40(20) - (20)^2) - (40(0) - (0)^2) CS = (800 - 400) - 0 = 400 Ziada ya Mtumiaji: KSh 400 Step 3: Kokotoa Ziada ya Mzalishaji (Producer Surplus, PS). PS = _0^x_e (P_e - P_S(x)) dx PS = _0^20 (80 - (3x + 20)) dx PS = _0^20 (80 - 3x - 20) dx PS = _0^20 (60 - 3x) dx PS = [60x - (3)/(2)x^2]_0^20 PS = (60(20) - (3)/(2)(20)^2) - (60(0) - (3)/(2)(0)^2) PS = (1200 - (3)/(2)(400)) - 0 PS = 1200 - 3(200) = 1200 - 600 = 600 Ziada ya Mzalishaji: KSh 600 Step 4: Tafsiri maana ya Ziada ya Mtumiaji na Ziada ya Mzalishaji. Ziada ya Mtumiaji (Consumer Surplus): Hii inawakilisha faida ya kifedha ambayo watumiaji hupata kwa kununua bidhaa kwa bei ya chini kuliko bei ya juu zaidi ambayo wangekuwa tayari kulipa. Katika kesi hii, watumiaji wanapata faida ya KSh 400, ikionyesha thamani ya ziada wanayoipata kutoka sokoni. Kwa maamuzi ya biashara, ziada kubwa ya watumiaji inaweza kuashiria kuwa bidhaa inathaminiwa sana na watumiaji, na kuna uwezekano wa kuongeza bei kidogo bila kupoteza wateja wengi. Ziada ya Mzalishaji (Producer Surplus): Hii inawakilisha faida ya kifedha ambayo wazalishaji hupata kwa kuuza bidhaa kwa bei ya juu kuliko bei ya chini zaidi ambayo wangekuwa tayari kuuza. Katika kesi hii, wazalishaji wanapata faida ya KSh 600, ikionyesha ufanisi wa soko kwa wazalishaji. Kwa maamuzi ya biashara, ziada kubwa ya wazalishaji inaweza kuashiria kuwa uzalishaji una faida na soko linafaa kwa uwekezaji zaidi au upanuzi. Ziada zote mbili zinaonyesha ufanisi wa soko. Ziada ya jumla (CS + PS) ni kipimo cha ustawi wa jamii unaotokana na biashara katika soko. Tuma swali linalofuata 📸