बताओं कि क्या आव्यूह गुणनफल के अनुष्यप है अथवा नहीं ? (i) A = [[-1,2],[3,4]], B = [[5],[6]]

हमें दिया गया है: $\theta - \phi = \frac{\pi}{2}$
इससे हमें मिलता है: $\theta = \phi + \frac{\pi}{2}$

अब, $\theta$ के त्रिकोणमितीय फलनों को $\phi$ के पदों में बदलें:
$\cos \theta = \cos\left(\phi + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \phi$
$\sin \theta = \sin\left(\phi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \phi$

दिए गए सारणिक के तत्व हैं:
$a_{11} = \cos^2 \theta = (-\sin \phi)^2 = \sin^2 \phi$
$a_{12} = \cos \theta \sin \theta = (-\sin \phi)(\cos \phi) = -\sin \phi \cos \phi$
$a_{13} = \cos^2 \phi$

$a_{21} = \cos \theta \sin \theta = -\sin \phi \cos \phi$
$a_{22} = \sin^2 \theta = (\cos \phi)^2 = \cos^2 \phi$
$a_{23} = \cos \phi \sin \phi$

$a_{31} = \cos^2 \phi$
$a_{32} = \cos \phi \sin \phi$
$a_{33} = \sin^2 \phi$

इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है:

सारणिक को सरल बनाने के लिए, हम पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_3$ का उपयोग करेंगे।

चूंकि $\sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1$, सारणिक बन जाता है:

सारणिक का मान है:
$1 \cdot ((\cos^2 \phi)(\sin^2 \phi) - (\sin \phi \cos \phi)(\sin \phi \cos \phi)) - 0 \cdot (...) + 1 \cdot ((-\sin \phi \cos \phi)(\sin \phi \cos \phi) - (\cos^2 \phi)(\cos^2 \phi))$
$= 1 \cdot (\cos^2 \phi \sin^2 \phi - \sin^2 \phi \cos^2 \phi) + 1 \cdot (-\sin^2 \phi \cos^2 \phi - \cos^4 \phi)$
$= 1 \cdot (0) + (-\sin^2 \phi \cos^2 \phi - \cos^4 \phi)$
$= -\sin^2 \phi \cos^2 \phi - \cos^4 \phi$

$= -\cos^2 \phi (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi)$
चूंकि $\sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1$:
$= -\cos^2 \phi (1)$
$= -\cos^2 \phi$

निष्कर्ष:
दिए गए संबंध $\theta - \phi = \frac{\pi}{2}$ के तहत, सारणिक का मान $-\cos^2 \phi$ है।
प्रश्न में इसे 0 के बराबर सिद्ध करने के लिए कहा गया है। यह तभी संभव है जब $\cos^2 \phi = 0$, जिसका अर्थ है $\cos \phi = 0$. यह स्थिति केवल कुछ विशिष्ट $\phi$ मानों के लिए ही सत्य है (जैसे $\phi = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$, आदि)। यह सभी $\phi$ मानों के लिए सत्य नहीं है।
उदाहरण के लिए, यदि $\phi = 0$, तो $\theta = \frac{\pi}{2}$ और सारणिक का मान $-\cos^2(0) = -1$ होगा, जो 0 के बराबर नहीं है।

इसलिए, दिए गए प्रश्न में सारणिक का मान हमेशा 0 नहीं होता है। यह केवल तभी 0 होता है जब $\cos \phi = 0$ हो।