I need vector algebra formulas

यहाँ कुछ आवश्यक सदिश बीजगणित (vector algebra) सूत्र दिए गए हैं:

• सदिश का निरूपण (Vector Representation): एक सदिश $\vec{a}$ को घटकों (components) के रूप में दर्शाया जा सकता है:

  $$\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k} \quad \text{या} \quad \vec{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$$

  जहाँ $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ क्रमशः $x, y, z$ अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश (unit vectors) हैं।

• सदिशों का योग और घटाव (Vector Addition and Subtraction): यदि $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $\vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ हैं, तो:

  $$\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1)\hat{i} + (a_2+b_2)\hat{j} + (a_3+b_3)\hat{k}$$ $$\vec{a} - \vec{b} = (a_1-b_1)\hat{i} + (a_2-b_2)\hat{j} + (a_3-b_3)\hat{k}$$

• अदिश गुणन (Scalar Multiplication): एक अदिश (scalar) $k$ से सदिश $\vec{a}$ का गुणन:

  $$k\vec{a} = (ka_1)\hat{i} + (ka_2)\hat{j} + (ka_3)\hat{k}$$

• सदिश का परिमाण (Magnitude of a Vector): सदिश $\vec{a}$ का परिमाण (या लंबाई) $|\vec{a}|$ द्वारा दिया जाता है:

  $$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$

• इकाई सदिश (Unit Vector): सदिश $\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a}$ है:

  $$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

• अदिश गुणनफल (Dot Product / Scalar Product): दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल:

  $$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$$

  या, यदि $\theta$ उनके बीच का कोण है:

  $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$$

• सदिश गुणनफल (Cross Product / Vector Product): दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का सदिश गुणनफल:

  $$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$ $$= (a_2b_3 - a_3b_2)\hat{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\hat{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\hat{k}$$

  या, यदि $\theta$ उनके बीच का कोण है और $\hat{n}$ उनके तल के लंबवत इकाई सदिश है:

  $$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta$$

• दो सदिशों के बीच का कोण (Angle Between Two Vectors): अदिश गुणनफल का उपयोग करके:

  $$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$$

• सदिश $\vec{a}$ पर सदिश $\vec{b}$ का प्रक्षेप (Projection of Vector $\vec{b}$ on $\vec{a}$):

  $$\text{Proj}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \vec{a}$$

  प्रक्षेप का अदिश घटक (scalar component):

  $$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$$